Гамма распред, условное распред, отриц биномиальное распред.

[Innokentii]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами:

Пусть $X$ и $Y$ -- две случайные величины. Предположим, что $Y$ имеет гамма распределение с параметрами $\alpha$ и $\beta$.

$\mathbb{P}_{x|y}=e^{-y}\cdot \frac{y^x}{x!},\;\; x=0,1,2,...$

Покажите, что $X$ имеет отрицательное биномиальное распределение.

Я понимаю, что отриц. биномиальное распределение - это такое $\mathbb{P}(Y = k) = \binom{k+r-1}{k}\, p^r q^k,\; k=0,1,2,\ldots$

Гамма распределение -- это распределение с плотностью $f(x)=x^{\alpha-1} \frac{e^{-\frac{x}{\beta}}}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}\cdot I(x\ge 0)$

Условное (дискретное) распределение - это:

$p_{X \mid Y}(x \mid y_0) = \mathbb{P}(X = x \mid Y = y_0) = { p_{X,Y}(x,y_0) \over p_Y(y_0)}, \; x \in \mathbb{R}^m$

Пока что нет идей с чего начать. Можете подсказать?

-- 03.07.2016, 15:35 --

Оригинал условия, вдруг что-то неверно понял.

[svv]

(Оффтоп)

Цитата:

Poison distribution

Только не Poison, а Poisson. В переводе (хоть фамилии не переводят) это было бы соответственно яд и рыба.

[Otta]

Innokentii в сообщении #1135484 писал(а):

Пока что нет идей с чего начать. Можете подсказать?

С чего обычно, с формул.
$P(X=x) = \int_{\mathbb R} P_{X|Y}(x|y)p_Y(y)dy$
Ничего там замысловатого нет.