Вероятность, Байес?, загрязнение рек.

[PWT]

В недавнем исследовании, ученые хотели проверить - существует ли связь между большими сельскохозяйственными и промышленными зонами и наличием тяжелых форм загрязнений в реках, которые протекают в этих зонах.

Были получены следующие результаты:

1) В реках, проходящих через и сельскохоз. зоны, и промышленные зоны вероятность сложной формы загрязнения $0,15$

2) В реках, не проходящих через сельскохоз. зоны, но проходящих через промышленные зоны вероятность сложной формы загрязнения $0,13$

3) В реках, проходящих через сельскохоз. зоны, но не проходящих через промышленные зоны вероятность сложной формы загрязнения $0,05$

4) В реках, не проходящих ни через и сельскохоз. зоны, ни через промышленные зоны вероятность сложной формы загрязнения $0,04$

Предположим далее, что:

а) Вероятность того, что река проходит через индустриальную зону, если известно, что она проходит через сельхоз. зону $0,6$

b) Вероятность того, что река проходит через индустриальную зону, если известно, что она не проходит через сельхоз. зону $0,2$

с) Вероятность того, что река проходит через сельхоз. зону $0,5$

Какова вероятность того, что река проходит через сельхоз зону, если если она имеет тяжелую форму загрязнения?

Мои идеи, сначала обозначения:

$A$ -- река проходит через сельхоз зону

$B$ -- река проходит через пром зону

$C$ -- река загрязнена

$P(C|AB)=0,15$

$P(C|\overline{A}B)=0,13$

$P(C|\overline{B}A)=0,05$

$P(C|\overline{A}\overline{B})=0,13$

$P(B|{A})=0,6$

$P(B|\overline{A})=0,2$

$P(A)=0,5$

$P(A|C)=?$

Далее уже решение:

$P(\overline{A})=0,5$

$P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=0,6\cdot 0,5$

$P(\overline{A}\cap B)=0,2\cdot 0,5=0,1$

$P(A\cap\overline{B})=0,4\cdot 0,5=0,2$

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=0,8\cdot 0,5=0,4$

$P(C)=p(C|AB))p(AB)+P(C|\overline{A}B)P(\overline{A}B)+P(C|\overline{B}A)P(\overline{B}A)+P(C|\overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B})$

$$P(C)=0,15\cdot 0,3+0,13\cdot 0,1+0,05\cdot 0,2+0,04\cdot 0,4=0,045+0,013+0,010+0,016=0,084$$

Далее есть соображение сделать через Байеса:

$P(A|C)=\dfrac{P(C|A)P(A)}{P(C)}$

Но тогда возникает вопрос -- как найти $P(C|A)$. Может ли это быть просто $P(C|A)=P(C|AB)+P(C|\overline{B}A)=0,15+0,05=0,2$?

[Koncopd]

В задаче не разбирался, но $P(C|A)=P(C|AB)+P(C|\overline{B}A)$ - это точно неверно. Верный вариант - $P(C|A)=P(C|AB)P(B|A)+P(C|A\overline{B})P(\overline{B}|A)$

[PWT]

Koncopd в сообщении #1135489 писал(а):

В задаче не разбирался, но $P(C|A)=P(C|AB)+P(C|\overline{B}A)$ - это точно неверно. Верный вариант - $P(C|A)=P(C|AB)P(B|A)+P(C|\overline{B}A)P(\overline{B}|A)$

Спасибо, но я пока что не понимаю этот верный вариант. Как его можно объяснить?)

[Koncopd]

PWT в сообщении #1135490 писал(а):

Koncopd в сообщении #1135489 писал(а):

В задаче не разбирался, но $P(C|A)=P(C|AB)+P(C|\overline{B}A)$ - это точно неверно. Верный вариант - $P(C|A)=P(C|AB)P(B|A)+P(C|\overline{B}A)P(\overline{B}|A)$

Спасибо, но я пока что не понимаю этот верный вариант. Как его можно объяснить?)

$P(C|A)=\frac{P(C\cap A)}{P(A)}=\frac{P(C\cap A\cap\Omega)}{P(A)}=\frac{P(C\cap A\cap(B\cup\overline{B}))}{P(A)}=\frac{P((C\cap A\cap B)\cup(C\cap A\cap\overline{B}))}{P(A)}=\frac{P(C\cap A\cap B)+P(C\cap A\cap\overline{B})}{P(A)}=\frac{P(C|A\cap B)P(A\cap B)+P(C|A\cap\overline{B})P(A\cap\overline{B})}{P(A)}=\frac{P(C|A\cap B)P(A\cap B)}{P(A)}+\frac{P(C|A\cap\overline{B})P(A\cap\overline{B})}{P(A)}=P(C|A\cap B)P(B|A)+P(C|\overline{B}\cap A)P(\overline{B}|A)$