Любопытная задачка.
Здесь, очевидно, все дело в компактности/некомпактности единичного шара.
Можно воспользоваться следующим планом.
1. Покажите, что при

, шар с радиусом

не может быть накрыт конечным набором шаров радиуса

.
2. Пусть имеется конечный набор

шаров радиуса

и еще один шар

радиуса

. Покажите, что внутри

можно разместить шар радиуса

так, чтобы он не пересекался с шарами из

.
3. Далее от противного. Пусть дана некая последовательность шаров. Без потери общности можно считать, что радиусы не возрастают и равны степеням

.