Покрытие шарами банахова пространства

[Ker124]

Здравствуйте.

Возник тут вопрос: почему бесконечномерное банахово пространство нельзя покрыть последовательностью шаров, радиусы которых стремятся к нулю? Я слышал, что это так, но что-то мне это не кажется пока очевидным...
Может, кто подскажет? Или скажет, где почитать про это?

Заранее спасибо.

[sup]

Любопытная задачка.
Здесь, очевидно, все дело в компактности/некомпактности единичного шара.
Можно воспользоваться следующим планом.
1. Покажите, что при $R > r$, шар с радиусом $R$ не может быть накрыт конечным набором шаров радиуса $r$.
2. Пусть имеется конечный набор $U$ шаров радиуса $r$ и еще один шар $B$ радиуса $R = 4r$. Покажите, что внутри $B$ можно разместить шар радиуса $r$ так, чтобы он не пересекался с шарами из $U$.
3. Далее от противного. Пусть дана некая последовательность шаров. Без потери общности можно считать, что радиусы не возрастают и равны степеням $1 \over 4$.

[iancaple]

sup в сообщении #1135056 писал(а):

Любопытная задачка.

Это точно)

sup в сообщении #1135056 писал(а):

3. Далее от противного. Пусть дана некая последовательность шаров. Без потери общности можно считать, что радиусы не возрастают и равны степеням $1 \over 4$.

Если бы можно было считать, что радиусы так быстро убывают, то все сделано. Пересечение объединения этих шаров с любой прямой имеет конечную длину, и значит не может накрыть даже эту прямую. Рассмотрев для любого n пересечение с n-мерным подпространством, получим, что ряд $\sum (r_k)^n$ расходится. Вот такие последовательности радиусов $\{r_k\}$, монотонно стремящиеся к 0, только и надо смотреть, и они бывают, например последовательно расположенные куски длины $2^{2n}$ из членов, равных $2^{-n}$

[Ker124]

sup
Понял, спасибо.

iancaple
Имелось, видимо, в виду, что степени 4 могут повторяться... прямо как в Вашем примере...

[Brukvalub]

Для сепарабельного случая док-во есть в статье Евгения Горина.

[Ker124]

Brukvalub

Ну это как раз примерно то же, что предложил sup...
Но тоже спасибо.

P. S. Сепарабельность из существования такого покрытия следует вроде автоматически...

[Padawan]

Интересно, тут полнота пространства важна? Мне кажется, что нет.

Полнота важна. Пространство $P$ многочленов на $[a,b]$ (с нормой из $C([a,b])$) можно так покрыть, т.к. оно является объединением конечномерных подпространств. $P=P_0\cup P_1\cup P_2\cup ...$, где $P_n$ -- множество всех многочленов степени $\leqslant n$. Сначала покрываем шар радиуса $1$ в $P_0$, потом шар радиуса $2$ в $P_1$, потом шар радиуса $3$ в $P_2$ и т.д.

[svv]

Padawan, у Вас же радиусы не стремятся к нулю, как требуется.

[Padawan]

Почему? Шар радиуса $n+1$ в $P_n$ покрываем шарами радиуса $2^{-n}$ с центрами в точках, принадлежащих $P_n$.

[svv]

А, понятно. Извините, я не включал мозг.