Безусловная минимизация в L2

[Jiggy]

Приветствую всех. Вопрос следующий.

Имеется функционал в пространстве $L_2(0,1)$:
$J(u) = \int\limits_{0}^{1/2}(u(x))^2dx - 2\int\limits_{0}^{1}\sin(\pi x)u(x)dx$

Нужно минимизировать. У меня идея была в замене 1-го интеграла на норму и там все хорошо решается и ответ получается: $u = \sin(\pi x)$ в результате применения обычного градиентного метода.
Поразмыслил и понял, что так делать нельзя. Поэтому думаю над сведением 1-го интеграла к $\left\langle Au, u \right\rangle$ или $\left\lVert Au \right\rVert^2$$$
Оператор A получается довольно кривым, если сводить так. Возможно, я слишком в дебри лезу. Что думаете?

[DeBill]

Jiggy
Странная какя-то у Вас задача...
Если второй интеграл разбить на две половинки (от 0 до $\frac{1}{2}$, и ...), то с первой половинкой - легко: выделяем полный квадрат (безо всяких градиентов), и станет хорошо. Но вторая половинка - не сдерживаемая никакими условиями - может быть любой.. Итого: Ваш ф-л принимает любые значения.

[Jiggy]

DeBill
Я попробовал добавить и вычесть такие интегралы:
$\int\limits_{1/2}^{1} (u(x))^2 dx $ и $\int\limits_{0}^{1} \sin(\pi x)^2 dx $.
Выделил полный квадрат и в итоге получил:
$J(u) = \left\lVert u(x) - \sin(\pi x) \right\rVert ^2 - (\frac{1}{2} + \int\limits_{1/2}^{1} (u(x))^2dx )$.

Думаю, что минимум достигается, когда норма в ноль обращается, поэтому $\sin(\pi x)$ - решение.
Хотелось бы, наверное, более строгого обоснования. Функционал, к слову, выпуклый, непрерывный, полунепрерывный снизу и слабо непрерывный.

[DeBill]

Jiggy
Функционал -хорош. Но дык неограничен же снизу!
После Ваших преобразований, все-таки не очень хорошо видно сцщество дела. Тучше все же добавить-вычесть интегралы по левой половинке отрезка. Тогда неограниченность сразу будет видна: фиксируем значения $u$ на левой половинке (ну, напр., возьмем Ваш синус), а на правой - совершенно независимо - возьмем опять же Ваш синус, умноженный ну на очень большую константу...
Я полагаю, Вам надо было искать минимум на единичном шаре - но это условие где-то потерялось...

[Brukvalub]

Проще говоря, если на $[0 ; \pi/2]$ положить $u(x)=2\sin(\pi x)$, а на остальном участке положить $ u(x)=n , n \in Z$, то станет очевидно, что абсолютных экстремумов у функционала нет.

[DeBill]

Jiggy
Кстати, для задачи о минимуме на шаре: правило множителей Лагранжа дает, что экстремальная функция должна иметь единичную норму, и равна Вашему синусу - но с разными коэф-тами на половинках отрезка....

[Jiggy]

Brukvalub
DeBill
Возможно, выход такой. Безусловная минимизация решений не имеет. А вот условная минимизация приводит к следующему:
$J(u) = \left\lVert u(x) - \sin(\pi x) \right\rVert ^2 - (\frac{1}{2} + \int\limits_{1/2}^{1} (u(x))^2dx ) $
И учитывая условие на множество U получим, что $J(u) \geqslant \left\lVert u(x) - \sin(\pi x) \right\rVert ^2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16} $
А минимум тут достигается, очевидно, где.

[Brukvalub]

Да, так.

[Jiggy]

Brukvalub
DeBill
Спасибо за помощь!

[DeBill]

Jiggy
А я не понял: откуда взялась одна шестнадцатая? Мы таки работаем на шаре? Или нет?
Для функции, равной Вашему синусу на левой половине, и ему же, умноженному на $\sqrt{3}$, - на правой, функционал - меньше!

[Brukvalub]

DeBill в сообщении #1134665 писал(а):

А я не понял: откуда взялась одна шестнадцатая? Мы таки работаем на шаре? Или нет?

Беда в том, что куда-то пропало сообщение ТС, в котором содержалась точная формулировка задачи. Там и была одна шестнадцатая.