Нерешёточное распределение

[ProPupil]

Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины $\xi$, если её функция вероятности имеет вид

$$P\left\{\xi = \frac{i}{j}\right\} = \frac{(e-1)^2}{(e^{i+j}-1)^2},$$

где $i,j$ - взаимно простые положительные целые числа?

[alcoholist]

ProPupil в сообщении #1134439 писал(а):

Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины $\xi$

просуммируйте и еще раз просуммируйте))

[Vince Diesel]

ProPupil в сообщении #1134439 писал(а):

Чему равно математическое ожидание дискретной случайной величины $\xi$, если её функция вероятности имеет вид

Это не будет распределением для с.в. т. к. сумма всех вероятностей не равна единице.

[ProPupil]

А чему равна сумма тогда? Я наткнулся на это распределение в одном иностранном учебнике, посвященном генерации случайных чи
Сел, и оно меня заинтересовало.

Захотелось поделиться с остальными

[alcoholist]

ProPupil в сообщении #1134482 писал(а):

Я наткнулся на это распределение в одном иностранном учебнике

можно ссылочку?

[ProPupil]

alcoholist в сообщении #1134563 писал(а):

ProPupil в сообщении #1134482 писал(а):

Я наткнулся на это распределение в одном иностранном учебнике

можно ссылочку?

[url="luc.devroye.org/chapter_ten.pdf"]luc.devroye.org/chapter_ten.pdf[/url], c. 12

[Vince Diesel]

ProPupil в сообщении #1134482 писал(а):

А чему равна сумма тогда?

Численный подсчет на компьютере суммы ряда (достаточно быстро сходящегося) дает

$$ (e-1)^2 \sum _{i=1}^{\infty } \sum _{j=1}^{\infty } \frac{1}{\left(e^{i+j}-1\right)^2}=0.092\ldots $$

Сумма только по взаимно-простым парам $i,j$ будет меньше.

[iancaple]

Поправил весь пост, удалите пожалуйста предыдущий.
Эту книгу Johnson and Kotz, 1969 Discrete Distributions в бесплатном виде не разыскал, но похожее распределение существует. Считал так:

$$\sum_{(i,j)=1}\dfrac 1{x^{i+j}-1}=\sum_{(i,j)=1,k\geq 1}x^{k(i+j)}=...$$

(Когда пары $(i,j)$ взаимно просты, пары $(ki,kj)$ пробегают всю решетку $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ по одному разу)

$$..=\sum_{m,n=1}^{\infty}x^{m+n}=\sum_{m,n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}=\dfrac{x^2}{(1-x)^2}$$

Это все было в круге сходимости $|x|<1$, подставим $x=e^{-1}$

$$\sum_{(i,j)=1}\dfrac 1{e^{-i-j}-1}=\dfrac {e^{-2}}{(e^{-1}-1)^2}=\dfrac 1{(e-1)^2}$$

$$P(\xi=\dfrac ij)=\dfrac{(e-1)^2}{e^{i+j}-1}$$

Теперь всего одна опечатка в пдфе.
P.S/ И теперь ответ к задаче таким же приемом находится $E(\xi )=e(1-\ln(e-1))$

[Karan]

iancaple в сообщении #1134846 писал(а):

Поправил весь пост, удалите пожалуйста предыдущий.

Удалил.

[Vince Diesel]

iancaple в сообщении #1134846 писал(а):

Эту книгу Johnson and Kotz, 1969 Discrete Distributions в бесплатном виде не разыскал,

Третье издание есть на Library Genesis. Там то же самое.