Сколькиугольной может быть призма? (по мотивам И. Рубанова)

[Ktina]

В вершинах $n$-угольной призмы расставили $2n$ положительных чисел так, что суммы чисел на всех её гранях оказались одинаковыми.
Найти все возможные значения $n$ и доказать, что других нет.
(по мотивам задачи И.С. Рубанова)

[svv]

Если в вершинах призмы можно расставить $2n$ каких-то положительных чисел с соблюдением условия, то можно расставить и $2n$ равных положительных чисел (сумма решений есть решение; просуммируем $n$ решений, получаемых поворотами призмы вокруг «вертикальной» оси, переводящими её в себя, включая исходное; все числа станут равными).

Следующий шаг: все числа заменяем единицами, это по-прежнему решение. Теперь сумма на каждой грани равна 4.

[Dan B-Yallay]

Обозначим черз $g$ сумму чисел на любой из граней, $S$ - сумму всех чисел от $1$ до $2n$:

$$S=\sum\limits_{i=1}^{2n}i=\frac {2n(2n+1)}{2}$$

Тогда для боковых граней имеем соотношение

$$ng=2S=2n(2n+1)$$

а для верхней и нижней

$$g=S/2=\frac{n(2n+1)}{2}$$

Сопоставляя два последних получаем уравнение

$$2(2n+1)=n(2n+1)/2$$

которое в целых числах неразрешимо.
(если нигде не наврал)

-- Пн июн 27, 2016 18:08:39 --

Наврал и еще как. В последнем уравнении сокращаем на $(2n+1)$, умножаем обе части на 2 и получаем ответ, совпадающий с ответом svv

[ET]

Ну и пусть мои 5 копеек
Пусть сумма чисел на одно грани $= S$
Тогда сумма всех чисел $2S$ (потому что это сумма чисел на гранях-основаниях)
С другой стороны просуммируем сумму чисел всех боковых граней: она равна с однйо стороны $nS$ с другой стороны это удвоенная сумма всех чисел всех вершин, тк каждое число сюда входит 2 раза, то есть $4S$
получаем $4S=nS$ А так как S ненулевое (

Цитата:

положительных чисел

)...

[Ktina]

svv
Dan B-Yallay
ET
Спасибо!