2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Изоморфизм групп
Сообщение26.06.2016, 23:05 
Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Для циклических групп это очевидно, а в общем случае не могу сообразить.

Спасибо.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение27.06.2016, 00:18 
Аватара пользователя
Gotoxy в сообщении #1134168 писал(а):
Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Нет. У них может быть разный генетический код (набор определяющих соотношений). Например, этим условиям удовлетворяют группы тетраэдра и диэдра порядка 12 (с порождающими $a$ и $b$). Но они неизоморфны, поскольку $a^3=b^2=(ab)^2=1$ для первой и $a^6=b^2=(ab)^2=1$ для второй.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение27.06.2016, 10:24 
Gotoxy в сообщении #1134168 писал(а):
Имеется две конечные группы с одинаковым количеством элементов. Их порождающие множества равномощны. Можно ли отсюда сделать вывод, что группы изоморфны?

Для циклических групп это очевидно, а в общем случае не могу сообразить.

К ответу lek'а добавлю, что это неверно уже для абелевых групп.
Например, $\mathbb Z_8 \oplus \mathbb Z_2$ и $\mathbb Z_4 \oplus \mathbb Z_4$ не изоморфны.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение27.06.2016, 19:32 
Большое спасибо!

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение29.06.2016, 01:30 
Аватара пользователя
А если две группы (не Абелевы) имеют один и тот же порядок и одинаковое разбиение на классы сопряженных элементов (одинаковое сочетание число классов с определенным количеством элементов), то можно ли тут что-то сказать?

И второй вопрос: я где-то слышал, что в общем случае задача об изоморфизме 2х групп является алгоритмически неразрешимой задачей. Так ли это, и если да, то на что можно при этом сослаться? :?

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение29.06.2016, 01:36 
Аватара пользователя
madschumacher в сообщении #1134570 писал(а):
И второй вопрос: я где-то слышал, что в общем случае задача об изоморфизме 2х групп является алгоритмически неразрешимой задачей. Так ли это, и если да, то на что можно при этом сослаться?

Почитайте, например, здесь.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение29.06.2016, 01:41 
Аватара пользователя
Спасибо, самое то :D

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение29.06.2016, 14:52 
Аватара пользователя
madschumacher в сообщении #1134570 писал(а):
А если две группы (не Абелевы) имеют один и тот же порядок и одинаковое разбиение на классы сопряженных элементов (одинаковое сочетание число классов с определенным количеством элементов), то можно ли тут что-то сказать?

Ничего определенного. Например, прямое произведения фиксированной неабелевой группы с произвольной абелевой порядка $n$.

 
 
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение29.06.2016, 14:58 
Аватара пользователя
Спасибо большое. Такое и подозревал...

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group