Чем существенным отличаются между собой бесконечности, например, по Катору и по Лопиталю?
Я хотел бы привести все свои рассуждения.
Бесконечность по Кантору -- это мера бесконечного множества, которая описывается кардинальным числом:

-- сюръекция (с некоторыми ограничениями) между счётными множествами и множеством натуральных чисел. Биективные отображения здесь и далее упомянутые, но не указанные (и сложно формализуемые) ограничениям удовлетворяют;

-- континуальные множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество последовательностей из нулей и единиц (среди них множество всех подмножеств множества натуральных чисел; множество действительных чисел, равно как и его непрерывные отрезки и интервалы);

-- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры

. Поэтому

.

-- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры

. Логично ввести отношение порядка для кардинальных чисел таким, что

iff

. Вопрос о существовании кардинальных чисел строго между, например,

и

, решается на уровне используемой в рассуждениях аксиоматики.
Лопиталь же придумал эффективный метод вычисления пределов, когда числитель и знаменатель дроби непрерывно дифференцируемые функции в окрестности предельной точки и они одновременно стремятся в бесконечность или к нулю.