Различие бесконечностей

[GevorgyanH1]

Чем существенным отличаются между собой бесконечности, например, по Катору и по Лопиталю?
Я хотел бы привести все свои рассуждения.
Бесконечность по Кантору -- это мера бесконечного множества, которая описывается кардинальным числом:
$\aleph_0$ -- сюръекция (с некоторыми ограничениями) между счётными множествами и множеством натуральных чисел. Биективные отображения здесь и далее упомянутые, но не указанные (и сложно формализуемые) ограничениям удовлетворяют;
$\aleph_1=c$ -- континуальные множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество последовательностей из нулей и единиц (среди них множество всех подмножеств множества натуральных чисел; множество действительных чисел, равно как и его непрерывные отрезки и интервалы);
$\aleph_2$ -- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры $\aleph_1$. Поэтому $\aleph_2=2^c$.
$\aleph_{n+1}$ -- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры $\aleph_n$. Логично ввести отношение порядка для кардинальных чисел таким, что $\aleph_k > \aleph_n$ iff $k>n$. Вопрос о существовании кардинальных чисел строго между, например, $\aleph_0$ и $\aleph_1$, решается на уровне используемой в рассуждениях аксиоматики.

Лопиталь же придумал эффективный метод вычисления пределов, когда числитель и знаменатель дроби непрерывно дифференцируемые функции в окрестности предельной точки и они одновременно стремятся в бесконечность или к нулю.

[arseniiv]

Вы забыли ещё много «бесконечностей»: ординалы, несобственные элементы некоторых множеств типа $\mathrm P\mathbb R^n,\mathrm P\mathbb C^n,\overline{\mathbb R}$ и ещё кучу всего. И это уже обсуждалось, поищите немного.

P. S. Правильность остального не проверял.

[Xaositect]

Что Вы называете бесконечностью по Лопиталю?

GevorgyanH1 в сообщении #1134125 писал(а):

$\aleph_1=c$ -- континуальные множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество последовательностей из нулей и единиц (среди них множество всех подмножеств множества натуральных чисел; множество действительных чисел, равно как и его непрерывные отрезки и интервалы);
$\aleph_2$ -- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры $\aleph_1$. Поэтому $\aleph_2=2^c$.
$\aleph_{n+1}$ -- множества, сюръективно (с некоторыми ограничениями) отображаемые в множество всех подмножеств множества меры $\aleph_n$. [...] Вопрос о существовании кардинальных чисел строго между, например, $\aleph_0$ и $\aleph_1$, решается на уровне используемой в рассуждениях аксиоматики.

Неверно. $\aleph_1$ - это по определению кардинальное число, непосредственно следующее за $\aleph_0$. $\mathfrac{c}$ - это по определению $2^{\aleph_0}$ (мощность множества всех подмножеств $\mathbb{N}$). От аксиоматики как раз зависит вопрос о том, равны ли $\aleph_1$ и $\mathfrac{c}$, а вопрос о существовании кардиналов между $\aleph_0$ и $\aleph_1$ - это вопрос определений (а именно, их там нет, по определению $\aleph_1$.). Аналогично на более высоких уровнях.

Какой смысл писать "сюрьективно (с некоторыми ограничениями)" вместо "биективно"?

Слово "мера" - это термин; и мощность множества с мерой лучше не путать.

-- Вс июн 26, 2016 17:44:53 --

GevorgyanH1 в сообщении #1134125 писал(а):

Логично ввести отношение порядка для кардинальных чисел таким, что $\aleph_k > \aleph_n$ iff $k>n$.

Логично ввести отношение порядка между кардиналами, соответствующее отношению "существует инъекция из $A$ в $B$" между множествами. То, что Вы написали - это частный случай.

[Sonic86]

GevorgyanH1 в сообщении #1134125 писал(а):

Бесконечность по Кантору -- это мера бесконечного множества, которая описывается кардинальным числом:

GevorgyanH1 в сообщении #1134125 писал(а):

Лопиталь же придумал эффективный метод вычисления пределов, когда числитель и знаменатель дроби непрерывно дифференцируемые функции в окрестности предельной точки и они одновременно стремятся в бесконечность или к нулю.

В огороде бузина, а в Киеве - дядька. И у Вас связь между этими понятиями такая же. (да и эффективность метода так себе).

[Deggial]

GevorgyanH1 заблокирован как злостный клон