Здравствуйте. Я запутался с простыми вещами, прошу помочь мне разобраться.
Путаница возникла с тех пор, как начал читать анализ Лорана Шварца.
Пусть есть

-- аффинное евклидово пространство,

-- начало и какой-нибудь базис (не обязательно ортогональный). Каждый элемент

можно представить в виде

. Далее, по моему разумению, есть такие две возможности:
1. Как только начало и базис выбраны, то элементы

мы можем
обозначать как

, не считая, что этот набор есть из

. Так что если есть какая-нибудь функция

, то мы, подставляя

, можем писать

. При этом частное дифференцирования по

, к примеру, есть производная вдоль базисного вектора

:

, что очень удобно получается из определений.
2. Если мы хотим работать с точкой

через ее координаты в выбранном базисе (т.е. писать

), то мы каждый раз строим изоморфизм между

и

. Тогда, если мы хотим в функцию

подставлять набор координат, то мы на самом деле рассматриваем тогда отображение

, где

есть изоморфизм между

и

(определенный через выбранный базис в

и канонический базис в

). И верно ли тогда, что

(и тут не пойму).
Второй способ, насколько я понимаю, является частным случаем рассмотрения

как гладкого многообразия с одной картой (т.е. с

). Но первый способ мне кажется удобнее, хоть он и не распространяется на многообразия.
Не могу понять, как тогда принято? В учебниках по мат. анализу, которые я открывал, фиксируют базис в

и только с ним и работают.