линейная алгебра: подскажите как решить

[aerob]

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов $1-t^2$, $t-t^2$.
наверно, сначала надо доказать что эти многочлены линейно независимы, как это сделать?
и что значит найти линейную оболочку? просто записать формулу вида $L(ax1, bx2)$?

2. Докажите, что многочлен степени 3 полностью определяется своими значениями при любых 4 попарно различных значениях независмой переменной.

[Lion]

В задаче 1 для доказательства независимости запишите линейную комбинацию данных многочленов, приравняйте ее к 0 и подумайте, при каких значениях коэффициентов тождество будет верным. Потом вспомните, то такое линейная оболочка векторов $e_1,..., e_n$.

В задаче 2 подставьте данные значения, получите систему уравнений и вспомните, как называется определитель этой системы и когда он равен 0.

[PAV]

Просьба окружить формулы (по крайней мере первые) знаками долларов. Увидите, что они станут смотреться гораздо лучше.

Независимость этих двух многочленов есть следствие того, что они не получаются друг из друга умножением на константу. Или, по-другому, если Вы составите их линейную комбинацию, то получить нулевой многочлен можто только если взять оба коэффициента равными нулю.

Ясно, что линейная оболочка этих двух многочленов будет включать в себя только многочлены не выше второй степени, но не все. Опишите, какому соотношению должны удовлетворять коэффициенты этого многочлена, чтобы он принадлежал этой оболочке.

Во второй задаче сначала докажите, что не может быть двух различных многочленов степени 3, которые бы совпадали в четырех точках. Затем подумайте, как в явном виде построить многочлен, заданный своими значениями в четырех точках. Вообще-то эта задача тут уже как-то обсуждалась, только для произвольной степени.

[aerob]

похоже я чего то важного про базисный вектор не понял
почему уравнение $a(1-t^2)+b(t-t^2)=0$ имеет решения только при $a=b=o$, если принять $t=2$ то при коэффициэнтах $ a=1 и b=-3/2$ оно также верно
просьба не закидывать помидорами))

[Brukvalub]

aerob писал(а):

почему уравнение $a(t-t^2)+b(t-t^2)=0$ имеет решения только при $a=b=o$

а=1 и b=-1, а=2 и b=-2 и т.п. Да и при чем здесь два раза одинаковый многочлен? Ведь в условии шла речь о разных многочленах?

[Lion]

А когда равны два многочлена? Только тогда, когда при всех значениях переменной они совпадают. То, что при каком-то значении $t$ Ваше равенство выполняется, еще ни о чем не говорит. Оно должно выполняться для любых значений $t$!

[aerob]

а все таки как доказать, что
$a(1-t^2)+b(t-t^2)=0$ при a=b=0, интуитивно то понятно, а доказать не получается, ни разу не видел как такое делается, как то его преобразовать надо, а как не пойму

[Lion]

Преобразуйте это выражение к квадратному трехчлену и прочитайте мой предыдущий пост.

[PAV]

В данном случае многочлены для Вас - это всего лишь набор коэффициентов. Два многочлена равны - означает, что у них одинаковы соответствующие коэффициенты.

[aerob]

$t^2(a+b)-bt-a=0$ очевидно, что это тождество может выполняться только при a=b=0, пройдет такое доказательство?))

[Brukvalub]

aerob писал(а):

очевидно, что это тождество может выполняться только при a=b=0, пройдет такое доказательство?

Я бы обязательно сказал: "а мне - не очевидно, разъясните подробнее"

[PAV]

PAV писал(а):

Два многочлена равны - означает, что у них одинаковы соответствующие коэффициенты.

Нужно дословно использовать эту формулировку.

[aerob]

$t^2(a+b)-bt-a=0$ , сказать: пусть cумма а+b=0, это возможно если только а=-b и первый одночлен равен нулю, но тогда не равен нулю второй (t не может быть нулевым вектором), следовательно получить нулевой многочлен из данного можно только при условии a=b=0 достаточно для доказательства?, кстати как быть с возможностью, что t=0 - она отсекается по условию?

[Brukvalub]

aerob писал(а):

$t^2(a+b)-bt-a=0$

Это не уравнение, а тождественное равенство двух многочленов. Можно сослаться на утверждение: Два многочлена равны в точности тогда, когда совпадают все их коэффициенты. Все коэффициенты многочлена в правой части тождества равны 0, поэтому такими же должны быть коэффициенты многочлена в левой части тождества.

[PAV]

aerob,

Вы все равно никак не можете привыкнуть к тому, что работаете с многочленами не как с функциями. Тут вообще нет понятия "подставить вместо $t$ какое-то значение".

Воспринимайте многочлен как вектор коэффийиентов.
$1 = (1,0,0)$
$t = (0,1,0)$
$t^2 = (0,0,1)$

$1-t^2 = (1,0,-1)$
$0 = (0,0,0)$

и так далее. Перепишите свое рассуждение в этих терминах и должно стать понятнее.