Терминология в элементарной и аналитической геометрии

[Anton_Peplov]

Mikhail_K
Ох. Слона-то я и не приметил:)

pogulyat_vyshel в сообщении #1475834 писал(а):

вырожденное (если соответствующий определитель равен нулю) или невырожденное

Вырожденное преобразование $\ne$ дурацкое. Например, преобразование, которое всю плоскость переводит в прямую $x^\prime = y^\prime$ - вырожденное (то есть не имеет обратного), но не дурацкое.

[pogulyat_vyshel]

Anton_Peplov в сообщении #1475838 писал(а):

Вырожденное преобразование $\ne$ дурацкое. Например, преобразование, которое всю плоскость переводит в прямую $x^\prime = y^\prime$ - вырожденное (то есть не имеет обратного), но не дурацкое.

ааааа, ну вот разобъяснили сразу понятно стало:)

[vpb]

Заглянул в Ильина-Позняка. Какая-то у них терминология вообще своеобразная, не та, что является стандартной сейчас в математике. То, что они называют "преобразование", в математике называется "отображение". А "преобразование" в математике --- это биективное отображение множества на себя само. То, что у Ильина-Позняка "линейное преобразование" --- стандартно "аффинное отображение". А "линейное" применяется к отображениям векторных пространств (а иногда аффинных пространств, при условии, что выделено начало координат и оно переходит в себя).

Впрочем, как я понимаю, в кругу физиков и даже механиков терминология вообще не та, что у математиков (и это естественно, до некоторой степени).

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1475842 писал(а):

То, что у Ильина-Позняка "линейное преобразование" --- стандартно "аффинное отображение".

Точно-точно аффинное? А то оно в общем случае не биективно и не сохраняет параллельность прямых.

У тех же Ильина-Позняка аффинное преобразование определяется как биективное линейное.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1475854 писал(а):

Точно-точно аффинное?

Точно. Тоже хотел сказать, что лучше называть то, что Вы написали, аффинным отображением.

Anton_Peplov в сообщении #1475854 писал(а):

У тех же Ильина-Позняка аффинное преобразование определяется как биективное линейное.

Нет, это уже совсем не общепринятая терминология.
Линейное - когда нуль переходит в нуль, аффинное - когда не обязательно. Как линейные, так и аффинные отображения могут быть биективными или не биективными.

-- 25.07.2020, 13:36 --

По-моему, лучше читать
Кострикин. Введение в алгебру (в 3 томах)

[nnosipov]

Anton_Peplov в сообщении #1475854 писал(а):

и не сохраняет параллельность прямых

Разве? Если пара параллельных прямых отобразилась в пару прямых, то последние две параллельны.

Upd. Вообще, если есть два произвольных параллельных аффинных подпространства, то при аффинном преобразовании их образы (тоже аффинные подпространства) будут параллельны.

-- Сб июл 25, 2020 18:12:55 --

vpb в сообщении #1475842 писал(а):

А "преобразование" в математике --- это биективное отображение множества на себя само

А мне всегда казалось, что "преобразование" --- это просто "отображение в себя". Ведь говорят же "вырожденное преобразование".

Впрочем, с терминологией всегда будут неоднозначности: в одной книжке так, в другой сяк.

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1475854 писал(а):

Точно-точно аффинное?

Точно-точно-точно ! Можете положиться. Надежно, как в банке !

-- 27.07.2020, 02:17 --

nnosipov в сообщении #1475866 писал(а):

А мне всегда казалось, что "преобразование" --- это просто "отображение в себя". Ведь говорят же "вырожденное преобразование".

Ну, да. Оно по разному бывает. Иногда отображение в себя, вырожденное или нет, называют оператором. А иногда преобразованием.

[Anton_Peplov]

Перечитываю старую тему и учебники.

vpb в сообщении #1475842 писал(а):

То, что у Ильина-Позняка "линейное преобразование" --- стандартно "аффинное отображение". А "линейное" применяется к отображениям векторных пространств (а иногда аффинных пространств, при условии, что выделено начало координат и оно переходит в себя).

Mikhail_K в сообщении #1475860 писал(а):

Линейное - когда нуль переходит в нуль, аффинное - когда не обязательно. Как линейные, так и аффинные отображения могут быть биективными или не биективными.

В книге Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 аффинное преобразование плоскости определяется так (с. 261 - 262):

Цитата:

Пусть в плоскости задана произвольная аффинная система координат $O\textbf e_1 \textbf e_2$. Если наряду с этой ("старой" или "исходной") задать также совершенно произвольную "новую" аффинную систему координат $O\textbf e'_1 \textbf e'_2$, то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке $M$ плоскости ставится в соответствие точка точка $M'$, которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка $M$ имела в старой системе. Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным.

Согласно этому определению, аффинное преобразование всегда биекция.

Далее на с. 272 Александров выражает аффинное преобразование через систему уравнений

$$ \begin{cases} x^\prime = a_{11}x + a_{12}y + a_{13} \\ y^\prime = a_{21}x + a_{22}y + a_{23} \end{cases} $$

(где на сей раз координаты точки и ее образа даны в одной и той же системе координат) и оговаривает, что система уравнений невырожденная, т.е. опять-таки аффинное преобразование - биекция.

В то же время Кострикин. Введение в алгебру. М.:2000, т. 2. Гл. 4. Аффинные и евклидовы точечные пространства. $\S 1$. Аффинные пространства дает следующее определение. Пусть $\mathbb {A, A'}$ - аффинные пространства, ассоциированные с линейными пространствами $V, V'$ над одним и тем же полем $P$. Отображение $f \colon \mathbb A \to \mathbb A'$ называется аффинным или аффинно-линейным, если существует такой линейный оператор $Df \colon V \to V'$, что $\forall \dot a \in \mathbb A, \mathbf v \in V$ верно $f(\dot a + \mathbf v) = f(\dot a) + Df (\mathbf v)$.

Согласно этому определению, константное преобразование $\exists \dot c \in \mathbb A \, \forall \dot a \in \mathbb A \, f(\dot a) = \dot c$ - аффинное, поскольку тождественно нулевой оператор - линейный.

Итак, мы имеем два учебника аналитической геометрии с одним пониманием аффинного пространства и учебник алгебры с другим. Я вынужден сделать вывод, что это не Ильин с Позняком с терминологией намудрили, а действительно есть две разные терминологические традиции. Возможно, терминология Кострикина новее, а у "аналитиков" - устаревшая.

[vpb]

Позволю себе напомнить, что преобразованием данного множества называется, как правило, биективное отображение этого множества на себя. А слово "отображение" используется для произвольного отображения одного множества в другое. (А "оператор" для отображения множества в себя, но последнее, вроде бы, не столь общепринято.)

[Anton_Peplov]

vpb в сообщении #1634973 писал(а):

Позволю себе напомнить, что преобразованием данного множества называется, как правило, биективное отображение этого множества на себя. А слово "отображение" используется для произвольного отображения одного множества в другое.

Спасибо, упустил из виду, что "отображение" и "преобразование" не обязательно синонимы. Попытавшись отследить этот нюанс, обнаружил у авторов разнобой. Кострикин. Введение в алгебру. М.:2000, т. 2. Гл. 4. Аффинные и евклидовы точечные пространства. $\S 1$. Аффинные пространства на с. 175:

Цитата:

В этом случае говорят об ... (аффинном) автоморфизме пространства $\matbb A$, реализованном посредством невырожденного аффинного преобразования $f$

Исходя из этой фразы, аффинное преобразование может быть и вырожденным, т.е. не биективным. Видимо, "преобразование" здесь просто синоним "отображения".

Ильин, Позняк. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит, 2001 - цитировал выше их определение линейного преобразования со с. 84 (которое, в их определении, не обязательно биекция и даже не обязательно отображает нуль в нуль - действительно странная терминология). Содержательно их определение линейного преобразования совпадает с определением аффинного отображения у Кострикина, если переписать последнее для плоскости и в координатах. Аффинными же они называют биективные "линейные отображения". Видимо, этот вариант терминологии самый неудачный.

Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 - не нашел общего определения преобразования, возможно, действительно имеются в виду исключительно биекции.

В общем, беру назад свои слова про "две терминологические традиции". Похоже, что наиболее общее и удачное определение аффинного отображения дано у Кострикина, и аффинность сама по себе не гарантирует биективности, что бы там ни писали Ильин и Позняк. Под аффинным преобразованием может пониматься произвольное аффинное отображение или же аффинная биекция, в зависимости от вкусов автора.

[vpb]

Anton_Peplov в сообщении #1635211 писал(а):

Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968 - не нашел общего определения преобразования, возможно, действительно имеются в виду исключительно биекции.

Суслик находится в "Прибавлении", параграф 3, стр. 781.

В Кострикине же, действительно, преобразованием называется любое отображение множества в себя. И во многих других книжках (Калужнин, Винберг) --- то же самое. Для меня это неожиданность. А в популярном зарубежном учебнике Hungerford, Algebra выражение linear transformation употребляется вообще для всех линейных отображений, в том числе между разными пространствами. В общем, стандарта нет. Лично я пишу, как в Александрове, а про произвольные отображения в себя так и пишу, "отображение в себя". А если подозреваю, что кто-то употребляет терминологию неканонически, то, как правило, могу догадаться об этом.