доказательство факторазиционного тождества

[Gorkovchanin]

Преамбула:
Пусть $\xi_1$, $\xi_2$, ... - н.о.р. случайные величины с ф.р. $F(x)$, $0<F(0)<1$,
положим $s_0=0$, $s_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$, $\bar s_n=\max\{0, s_1, s_2, \ldots, s_n\}$,
$\theta_n=\min\{k\colon s_k=\bar s_n\}$, $u_{n,k}^x =\mathbf P\{\theta_n=k, \bar s_n<x\}$.

Вопрос:
В процессе доказательства "первого факторизационного тождества" используется равенство
$u_{n+1, k+1}^x = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x} dF(t) u_{n,k}^{x-t}$, $n\geq k \geq 1$,
которое, как утверждается, получается "по формуле полной вероятности". Давайте проверим минимальный пример -
частный случай $n=k=1$.
Величина слева:
$u_{2,2}^x=\mathbf P\{\theta_2=2, \bar s_2<x\}=\mathbf P\{\xi_1+\xi_2>0, \xi_1+\xi_2>\xi_1, \xi_1+\xi_2<x\}$,
откуда
$u_{2,2}^x=\mathbf P\{(\xi_1, \xi_2)\in D_x^{(1)}\}$ c $D_x^{(1)}=\{(t,y)\colon y\geq0, 0<t+y<x\}$ ("полоса с косым обрезом").
В правой части: $u_{1,1}^{x-t}=\mathbf P\{\theta_1=1, \bar s_1<x-t\}=\mathbf P\{0<\xi_1<x-t\}=P_{\xi_1}(0, x-t)$, в силу чего
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x} dF(t) u_{1,1}^{x-t}=\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x} dF(t) P_{\xi_1}(0, x-t) = \iint\limits_{D_x^{(2)}}P_{\xi_1}\times P_{\xi_1}(dt\times dy)$,
где $D_x^{(2)}=\{(t,y)\colon y\geq0, t+y<x\}$ ("клин") и $D_x^{(1)}\neq D^{(2)}_x$,
откуда $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{x} dF(t) u_{1,1}^{x-t}=\mathbf P\{(\xi_1, \xi_2)\in D_x^{(2)}\}$

Следовательно, выражения слева и справа совпадать не обязаны.
Что-то от меня ускользнуло в вычислениях?