Жорданова форма.

[PWT]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей! Мне важен здесь идейный подход, арифметику можно не смотреть, я ее на вольфраме проверял. Правильно ли идейно все делал?

A=\begin{pmatrix} 4& 6 &-10&-5&17&17 \\ 1& 3 &-5&0&-1&0 \\ 1& 2 &-4&0&-1&0 \\ 1& 2 &-3&-1&0&1 \\ 0& 0 &5&-5&21&17 \\ 0& 0 &-6&6&-26&-21 \\ \end{pmatrix}$

1) Следует вычислить характеристический многочлен матрицы.
2) Найти его корни - собственные значения матрицы, и их алгебраическую кратность.
Для каждого из собственных значений:
3) Найти базис собственного подпространства, определив геометрическую кратность.
4) Найти базисы подпространств из корневых векторов последующих высот, определив,
тем самым,количество жордановых цепочек соответствующих высот.
5) Выписать каноническую форму Жордана матрицы.

Нашел собственные значения и соответствующие им собственные вектора, характер. многочлен и кратности.
То есть сделал пункты 1-3.

Проверил все вольфрамом, сходится проверил тут

$\lambda_1=-1$, $v_1=(-1,0,0,-1,-1,1)$. Алгебраическая кратность $1$, геометрическая $1$

$\lambda_2=1$, $v_2=(5,0,1,1,0,0)$, $v_3=(-2,1,0,0,0,0)$. Алгебраическая кратность $2$, геометрическая $2$

$\lambda_3=0$, $v_4=(-3,0,0,1,-3,4)$. Алгебраическая кратность $1$, геометрическая $1$

Далее ищем присоединенные векторы (я так понимаю, что это тоже самое, что и корневые).

1) Берем $\lambda_1$, обозначим за $B_1$ следующую матрицу $B_1=A-\lambda_1\cdot E$.

$\lambda_1=-1$.

B_1=$\begin{pmatrix} 5& 6 &-10&-5&17&17 \\ 1& 4 &-5&0&-1&0 \\ 1& 2 &-3&0&-1&0 \\ 1& 2 &-3&0&0&1 \\ 0& 0 &5&-5&22&17 \\ 0& 0 &-6&6&-26&-20 \\ \end{pmatrix}$

Ранг $B_1$ равен $5$, ядро состоит из одного вектора $(-1,0,0,-1,-1,1)$

Ранг $B_2$ равен $5$, ядро состоит из одного вектора $(-1,0,0,-1,-1,1)$

проверил тут

Для последующих степеней мы не получаем корневых (присоединенных векторов).

2) Берем $\lambda_2=1$, обозначим за $B_2$ следующую матрицу $B_2=A-\lambda_2\cdot E$.

Ясно, что ядро состоит из векторов $v_2=(5,0,1,1,0,0)$, $v_3=(-2,1,0,0,0,0)$.

Далее будем искать присоединенные вектора в ядре $B_2^2$

Оказывается, что тут в ядре три вектора:

$a_1=(0,0,1,1,0,0)$, $a_2=(0,1,0,0,0,0)$, $a_3=(1,0,0,0,0,0)$

проверил тут

Поскольку $a_1=(0,0,1,1,0,0)$, $a_2=(0,1,0,0,0,0)$ линейно зависимы с $v_2,v_3$, в качестве присоединенного вектора берем $a_3$.

3) Берем $\lambda_3=0$, обозначим за $B_2$ следующую матрицу $B_3=A-\lambda_3\cdot E$.

Ясно, что ядро $B_3$ состоит из вектора $v_4=(-3,0,0,1,-3,4)$.

Ядро $B_3^2$ состоит из векторов $b_1=(0,0,0,5,0,2)$ и $b_2=(1,0,0,3,1,0)$.

Так как $b_2$ можно получить линейной комбинацией $b_1$ и $v_4$, то присоединенным вектором будет $b_1$.

Далее, получается, что для $\lambda_1=-1$ будет жорданов блок $1\times 1$, так как там один собственный вектор и нет присоединенных.

Далее, получается, что для $\lambda_2=1$ будет жорданов блок $3\times 3$, так как там два собственных вектора и один присоединенный.

Далее, получается, что для $\lambda_3=0$ будет жорданов блок $2\times 2$, так как там 1 собственный вектор и один присоединенный.

Жорданова форма:

$$\begin{pmatrix} -1& 0&0&0&0&0 \\ 0& 1 &1&0&0&0 \\ 0& 0 &1&1&0&0 \\ 0& 0 &0&1&0&0 \\ 0& 0 &0&0&0&1 \\ 0& 0 &0&0&0&0 \\ \end{pmatrix}$$

Верно ли? Как определить количество Жордановых цепочек, что под этим понимается?

Кстати, не сходится жорданова форма матрицы с вольфрамом

То есть в жордановом блоке над $1$ должен быть один ноль и единица, а у меня две единицы. Как узнать -- сколько единиц и нулей должно быть над диагональю в жордановом блоке, подскажите, пожалуйста.

-- 22.06.2016, 15:24 --

А, кажется я понял, там геометрическая кратность значения $1$ равна $2$, потому две жордановы клетки. Вроде бы так?

-- 22.06.2016, 15:32 --

Верно ли, что если некоторому собственному числу соответствуют $k$ собственных векторов и $m$ присоединенных, то размер жорданового блока для этого собственного числа будет $n\times n$, где $n=k+m$?

[PWT]

$\lambda_1=-1$, $v_1=(-1,0,0,-1,-1,1)$. Алгебраическая кратность $1$, геометрическая $1$

$\lambda_2=1$, $v_2=(5,0,1,1,0,0)$, $v_3=(-2,1,0,0,0,0)$. Алгебраическая кратность $3$, геометрическая $2$

$\lambda_3=0$, $v_4=(-3,0,0,1,-3,4)$. Алгебраическая кратность $2$, геометрическая $1$

Немного перепутал в начале, должно быть так.

-- 22.06.2016, 15:37 --

Еще, заметил закономерность, что алгебраическая кратность равна сумме количества собственных векторов и присоединенных. Так и должно быть?

Кстати, характеристический многочлен $(\lambda-1)^3\lambda^2(\lambda+1)=0$ и проверка

[StaticZero]

На тему ЖНФ имеется полезный, как по мне, материал:
В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора.

Там описано два метода приведения к жордановой форме в доступной форме (ха-ха, каламбур). Возможно, вам это будет полезно.

[PWT]

StaticZero в сообщении #1133362 писал(а):

На тему ЖНФ имеется полезный, как по мне, материал:
В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора.

Там описано два метода приведения к жордановой форме в доступной форме (ха-ха, каламбур). Возможно, вам это будет полезно.

Да, спасибо, я это читал, как раз, опираясь на этот материал и решал. Но все равно вопросы в стартпосте пока что открыты, не знаю на них ответ.

-- 22.06.2016, 16:15 --

Например, в этом пособии используется термин "присоединенные вектора", но нет понятия "корневые вектора", потому я не знаю -- одно ли это или это разные понятия итп.
Еще, там нет понятия "жорданова цепь".

Хотя, я уже в других источниках нашел, что все-таки корневые и присоединенные -- одно и тоже, а жорданова цепь -- это последовательность из собственных и присоединенных векторов.

-- 22.06.2016, 16:28 --

Насколько я понимаю, что у каждого корневого вектора в данной задаче высота равна $2$.

[Slav-27]

Ой, что-то у вас столько всего написано, но не похоже, что вы это всё понимаете. Тут ничего сложного на самом деле, но надо не просто алгоритм действий зазубривать, а ещё и соображать кое-что...

Вот пусть у вас $A$ -- оператор $n$-мерного комплексного векторного пространства. Он вам задан в каком-то там базисе комплексною матрицею $n\times n$. Мы ищем другой базис, в котором матрица оператора будет иметь специальный вид -- жорданову форму. То есть мы ищем $n$ (комплексных) $n$-мерных векторов.

У характеристического многочлена оператора $n$ корней. Пусть у какого-нибудь корня $\lambda$ кратность $k$, то есть хар. многочлен делится на $(x-\lambda)^k$, а если $k+1$, то уже не делится.

Теория говорит нам, что этому собственному значению в жорданове базисе соответствует $k$ векторов.

Пусть эти $k$ векторов $v_1, ..., v_k$. Посмотрим, как на них действует оператор $N=A-\lambda$. Теория говорит, что все эти векторы зануляются какою-то степенью оператора $N$.

Именно, выберем какой-нибудь вектор $v_k$. Как говорит теория, жорданов базис выбирается так, что под действием оператора $N$ вектор $v_k$ переходит либо в $v_{k+1}$, либо в $0$.

То есть векторы жорданова базиса, соответствующие $\lambda$, можно записать в такую, например, таблицу (тут $k=10$):

$$\begin{tabular}{ccccc} v_1 & & & & \\ v_2 & & & & \\ v_3 &v_5&v_7& & \\ v_4 &v_6&v_8&v_9&v_{10}\\ \end{tabular}$$

-- так что в ней любой вектор под действием $N$ переходит на этаж ниже, а векторы нижнего этажа все переходят в 0.

Ну а теперь посмотрите на таблицу, подумайте и ответьте на следующие простые вопросы:

1) Какая наименьшая степень оператора $N$ зануляет все векторы $v_1, \dots, v_{10}$?
2) Какая матрица у ограничения оператора $N$ на подпространство, натянутое на векторы $v_1, \dots, v_{10}$, в базисе $v_1, \dots, v_{10}$?
3) Какая матрица у ограничения $N^2, N^3, \dots$ на это подпространство в этом же базисе?
4) Где здесь собственные векторы, отвечающие собственному значению $\lambda$ оператора $A$?
5) Какая матрица у ограничения $A$ на то же подпространство (см. выше) в том же его базисе?

Подсказка: матрица оператора -- это образы векторов базиса, выписанные рядом.

[Brukvalub]

Slav-27 в сообщении #1133397 писал(а):

Подсказка: матрица оператора -- это образы векторов базиса, выписанные рядом.

А подсказка-то просто чудо как хороша! Радуюсь, что меня в свое время не учили с помощью таких подсказочек.

[Slav-27]

Brukvalub
Эх...
В первом столбце матрицы оператора в заданном базисе записываются коэффициенты разложения образа первого базисного вектора по базису.
Во втором столбце матрицы оператора (если он у неё есть)...

Так лучше?

[Brukvalub]

Slav-27 в сообщении #1133403 писал(а):

Так лучше?

Так намного лучше! А еще лучше так: матрицей линейного оператора в базисе наз. матрица, по столбцам которой расположены координаты образов базисных векторов в том же базисе.

[Slav-27]

(Brukvalub)

А вы ещё не написали, в каком порядке они там расположены!
Хотя и я этого не написал.

И так поймут, надеюсь.

[Slav-27]

Я вчера напортачил немного. Векторы обычно упорядочивают не так:

Slav-27 в сообщении #1133397 писал(а):

$$\begin{tabular}{ccccc} v_1 & & & & \\ v_2 & & & & \\ v_3 &v_5&v_7& & \\ v_4 &v_6&v_8&v_9&v_{10}\\ \end{tabular}$$

-- а так:

$$\begin{tabular}{ccccc} v_4 & & & & \\ v_3 & & & & \\ v_2 &v_6&v_8& & \\ v_1 &v_5&v_7&v_9&v_{10}\\ \end{tabular}$$

То есть $v_k$ под действием $N$ идёт либо в $0$, либо в $v_{k-1}$. Принципиальной разницы нету (а вы, друзья, как ни садитесь...), но если первым способом нумеровать, то у жордановой формы единички будут под главной диагональю, а не над -- а у вас, PWT, над.

[PWT]

Slav-27 в сообщении #1133397 писал(а):

1) Какая наименьшая степень оператора $N$ зануляет все векторы $v_1, \dots, v_{10}$?
2) Какая матрица у ограничения оператора $N$ на подпространство, натянутое на векторы $v_1, \dots, v_{10}$, в базисе $v_1, \dots, v_{10}$?
3) Какая матрица у ограничения $N^2, N^3, \dots$ на это подпространство в этом же базисе?
4) Где здесь собственные векторы, отвечающие собственному значению $\lambda$ оператора $A$?
5) Какая матрица у ограничения $A$ на то же подпространство (см. выше) в том же его базисе?

Подсказка: матрица оператора -- это образы векторов базиса, выписанные рядом.

Извините, что долго не отвечал. Все что до таблицы я понял. Но сама таблица не очевидна.
Я так понимаю, что первая строка зануляется первой степенью оператора, вторая строка второй итп.
Тогда четвертая степень занулит все векторы. Но, не ясно -- как осуществился переход $v_4\to v_5$. Как осуществился переход с четвертой строки к третьей?
Собственный вектор здесь $v_1$, если я правильно понял таблицу.
А что такое матрица ограничения? (гугл не дал ответ на этот вопрос мне)

[arseniiv]

Не матрица ограничения, а ограничение оператора. Ограничение функции $f\colon X\to Y$ на $X'\subset X$ — это функция $f|_{X'}\colon X'\to Y$, принимающая те же значения, что и $f$ — но действует она уже, как видите, из подмножества, мы ограничили её. Линейные операторы имеет смысл ограничивать на инвариантные подпространства (чтобы они оставались линейными), но у вас тут как раз так и есть.

PWT в сообщении #1133931 писал(а):

Но, не ясно -- как осуществился переход $v_4\to v_5$

Никак, ведь $\mathbf v_4$ под действием $N$ переходит в $\mathbf v_3$. (Или, если вы про старый вариант таблицы Slav-27, $\mathbf v_4$ переходит вообще в $\mathbf 0$.)