Наибольшее непредставимое число (по мотивам С. Берлова)

[Ktina]

Найти наибольшее натуральное число, которое нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых -- простое, большее 5, а другое -- составное.
(по мотивам задачи С. Берлова)

[waxtep]

Кажется, так получается:
1. Легко доказать, что данное число должно делиться на $2,3,5$, т.е. иметь вид $30n$; при этом, само число $30$ нельзя представить в указанном виде, оно нам подходит.
2. При $n>1$, выделим из $30n$ в качестве простых "кандидатов" числа $7,11,13,17,19,23,29$; после выделения получим числа вида $30(n-1)+\{23,19,17,13,11,7,1\}$, которые образуют полную систему остатков по модулю $7 \Rightarrow$ одно из них делится на $7$. Итого, ответ $30$.

[Ktina]

waxtep
Условие #1 - лишнее.

[Ktina]

waxtep
В смысле, не лишнее, но можно и не доказывать.
У меня было почти как у Вас:

Любое число, дающее остаток 1 по модулю 7, можно представить в виде $29+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 2 по модулю 7, можно представить в виде $23+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 3 по модулю 7, можно представить в виде $17+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 4 по модулю 7, можно представить в виде $11+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 5 по модулю 7, можно представить в виде $19+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 6 по модулю 7, можно представить в виде $13+7k,\quad k>1$
Любое число, дающее остаток 0 по модулю 7, можно представить в виде $7+7k,\quad k>1$

А также любое нечётное число, большее 9, можно представить в виде $7+2k,\quad k>1$

Таким образом, любое натуральное число, начиная с 43, можно представить требуемым в задаче образом.
Нечётные числа от 31 до 41 представимы (см. выше).

И наконец,

$$42=7+35, \quad 40=7+33, \quad 38=11+27, \quad 36=11+25, \quad 34=7+27, \quad 32=7+25, \quad $$

А вот число 30 непредставимо.

-- 22.06.2016, 09:16 --

А задача вот отсюда:

http://skachate.ru/matematika/220418/index.html

(старшая группа детского сада, вторая лига, задача №1)

[waxtep]

Ktina в сообщении #1133295 писал(а):

В смысле, не лишнее, но можно и не доказывать.

Мне было интересно пощупать хоть какой-то нетривиальный пример такого числа. И первое, что пришло в голову, оно должно быть четным; а на три? ах и на триии!.. Спасибо Вам, прикольная задачка.

[Ktina]

waxtep в сообщении #1133309 писал(а):

Спасибо Вам, прикольная задачка.

Это Сергею Львовичу Берлову спасибо, а не мне.