Тригонометрическая задача.

[Батороев]

При каких рациональных $ \cos \alpha $, $\cos \beta $ ($ 0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{2} $), равенство $ \sin\alpha = 2\sin\beta $ имеет решение

[RIP]

Выразите синусы через косинусы, и получится простое уравнение на то, что Вас интересует.

[Батороев]

Получил:
$ 4cos^2\beta - cos^2\alpha = 3 $
Cделал замену:
$ 4(\frac{a}{b})^2 - (\frac{c}{d})^2 = 3 $

А что дальше?

Дело в том, что я путем некоторых размышлений пришел к тому, что здесь должно быть всего одно решение, но проверить правильность своих размышлений не могу

[RIP]

Батороев писал(а):

А что дальше?

Разность квадратов.

Добавлено спустя 5 минут 27 секунд:

Батороев писал(а):

Дело в том, что я путем некоторых размышлений пришел к тому, что здесь должно быть всего одно решение, но проверить правильность своих размышлений не могу

И правильно, что не можете: решений бесконечно много.

[Батороев]

$ (\frac{2a}{b} - \frac{c}{d})(\frac{2a}{b} + \frac{c}{d}) = 3 $
Приравниваю:
$ (\frac{2a}{b} - \frac{c}{d}) = \frac{m}{n} $
$ (\frac{2a}{b} + \frac{c}{d}) = 3\frac{n}{m} $
Добавлено: где $ m > n $.

$\frac{c}{d} = \frac {3n^2 - m^2}{2mn} $

Добавлено: При $ m < n $ необходимо рассмотреть
$ (\frac{2a}{b} - \frac{c}{d}) = 3 \frac{m}{n} $
$ (\frac{2a}{b} + \frac{c}{d}) = \frac{n}{m} $

Что-то в явном виде ни за, ни против не увидел.
Завтра еще подумаю...

[нг]

Батороев писал(а):

$\frac{c}{d} = \frac {3n^2 - m^2}{2mn} $

Не забудьте только диапазон проверить.

[Батороев]

RIP писал(а):

И правильно, что не можете: решений бесконечно много.

Не могли бы Вы назвать, хотя бы два, численных значения $ cos\alpha $ и $ cos\beta $.

нг писал(а):

Батороев писал(а):

$\frac{c}{d} = \frac {3n^2 - m^2}{2mn} $

Не забудьте только диапазон проверить.

Попробую.

Добавлено спустя 1 час 31 минуту 16 секунд:

Получил два неравенства:
$ \frac{\sqrt{3}}{3}m < n < m $
$ \sqrt{3}m < n < 3m $,

но с точки зрения рациональности чисел яснее не стало

Добавлено спустя 57 минут 43 секунды:

Чтоб не заморачивать на Новый год ни себя, ни других, расскажу-ка лучше о своих умозлоключениях:

Нарисуем прямоугольный треугольник $ ABC $ с прямым углом $ B $, горизонтальной гипотенузой $ AC $ и катетами $ AB > BC $.
Из прямого угла на гипотенузу проведем высоту $ BD $.
Проекции катетов $ AB $ и $ BC $ на гипотенузу обозначим соответственно $ x $ и $ y $.
Середину гипотенузы обозначим $ O $.
Начинает вырисовываться "планиметрический факторизатор", т.к. высоту можно выразить, как
$ BD^2 = xy = (\frac{x+y}{2})^2 - (\frac{x-y}{2})^2 $ (1)
$ BD^2 = (\frac{AC}{2})^2 - OD^2 $
$ BD^2 = OB^2 - OD^2 $

Обозначим угол $ BOC $ через $ \alpha $

Теперь опишем треугольник окружностью и уменьшим масштаб в $ \frac{AC}{2} $ раз.
Получили тригонометрический круг.
Выражение (1) трансформировалось в известное:
$ sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha $

Заявленное же выше утверждение о единственности решения у меня родилось в результате того (правильно или неправильно я посчитал ), что коль скоро отношение $ \frac{xy+1}{x+y} = 2 $ выполняется только для $ xy = 15 $, то и в тригонометрию его можно тоже перенести.

[TOTAL]

Батороев писал(а):

Не могли бы Вы назвать, хотя бы два, численных значения $ cos\alpha $ и $ cos\beta $.

Например $ cos\alpha = \frac{11}{21}$ и $ cos\beta = \frac{19}{21}$

[Батороев]

TOTAL писал(а):

Например $ cos\alpha = \frac{11}{21}$ и $ cos\beta = \frac{19}{21}$

Спасибо за контр-пример!
Теперь хоть спокойно Новый год встречу.
Всех с Наступающим!!!

[RIP]

А общее решение таково:
$\cos\alpha=\frac12\left(a-\frac3a\right)$, $\cos\beta=\frac14\left(a+\frac3a\right)$, $a\in(\sqrt3;3)\cap\mathbb Q$.

Батороев писал(а):

Всех с Наступающим!!!

Присоединяюсь.

[Someone]

Во какое простое решение RIP нашёл. А я стандартным путём решил, только не было времени здесь написать.
Я обозначу для краткости $x=\cos\beta$, $y=\cos\alpha$. Тогда уравнение примет вид $4x^2-y^2=3$. Легко заметить, что есть очевидные решения $x=\pm 1$, $y=\pm 1$. Других решений с $x=\pm 1$ нет.
Для любого решения с $x\neq 1$ определим $t=\frac{y-1}{x-1}$. Рациональным $x$ и $y$ при этом соответствуют рациональные значения $t$. Тогда $y=1+t(x-1)$. Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим

$$4(x^2-1)-2t(x-1)-t^2(x-1)^2=0\text{,}$$

откуда, после сокращения на $x-1\neq 0$, найдём

$$\begin{cases}x=\frac{t^2-2t+4}{t^2-4}\text{,}\\ y=\frac{t^2-8t+4}{4-t^2}\text{.}\end{cases}$$

Решения, удовлетворяющие условиям $0<x<1$, $0<y<1$, получаются при $4<t<4+2\sqrt{3}$. Естественно, рациональные решения - при рациональных $t$.
Решение RIPа получается при $t=\frac{2(a+1)}{a-1}$; обратное преобразование: $a=\frac{t+2}{t-2}$.

[RIP]

Someone писал(а):

Во какое простое решение RIP нашёл.

На самом деле Батороев его тоже нашёл, только сам этого не заметил . Он усложнил себе жизнь тем, что использовал дроби для обозначений (так, моё $a$ --- это его $3\frac nm$).

[Батороев]

RIP писал(а):

А общее решение таково:
$\cos\alpha=\frac12\left(a-\frac3a\right)$, $\cos\beta=\frac14\left(a+\frac3a\right)$, $a\in(\sqrt3;3)\cap\mathbb Q$.

Выходит, мое утверждение все же верно...
но только для натуральных $ a $

Спасибо, RIP и Someone!

[Батороев]

Один друг, сменяя другого, посетили ныне мой хаус, превратя его в хаос.

Но в перерывах решил узнать, когда же целочисленно отношение $\frac{tg \alpha}{tg\beta} $ (по преобразованиям, описанным в сообщении №7 по данной теме).
И пришел к следующему квадратному уравнению:
$ 3x^2 - 2(z-1)x - (2z+1) = 0 $,
где корни:
$ x_1 = \frac{2z+1}{3} $
$ x_2 = -1 $
или $ z = \frac {3x - 1}{2} $

Это уравнение гласит о том, что если
$ y = 3x + 2 $ (где $ x $ - нечетное число), то отношение
$ \frac{xy-1}{y-x} = z $ (2) (или $\frac{tg \alpha}{tg\beta} $) - целочисленно.

Интересно, чему из известного это соответствует

[Батороев]

На трезвую голову немного разобрался.
Выражение (2) - это часть выражения:
$ \frac{(x+1)(y-1)}{y-x} = z + 1 $
Подставляя $ y $, получаем:
$ \frac{(x+1)(3x-1)}{2(x+1)} = z + 1 $

Этак, можно получить и другие целочисленные значения:
$ \frac {(k-1)(xy-1)}{y-x} $,
при $ y = kx + (k-1) $, где $ k $ - целое число.

Таким образом, у некоторых чисел $ n = xy $
среди множителей числа $ n - 1 = xy -1 $ в неявном виде, но присутствует разность множителей $ y - x $.