Поле внутри диэлектрика

[TelmanStud]

Доброго дня!
Подскажите пожалуйста как правильно математически сформулировать задачу нахождения электрического поля как внутри такого неоднородного диэлектрика

так и снаружи него. Диэлектрическая проницаемость двух частей $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. В левой и в правой частях имеются внутренние заряды $q_1$ и $q_2$ с координатами $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ соответственно.
Угол между $\vec{E}_0$ и стороной $b$ это $\alpha$(забыл указать на рисунке).
Спасибо заранее.

[Munin]

$\vec{E}_0$ надо задать как граничные условия на бесконечности. Потому что на более близких расстояниях оно будет искажено.

[TelmanStud]

Munin
Я то подразумевал, что $E_0$ это исходное невозмущенное поле, в которое внесли диэлектрик. Но в любом случае $\lim \limits_{r\to\infty}\vec{E}=\vec{E}_0$, где $\vec{E}$ результирующее поле. Что дальше?

[amon]

TelmanStud в сообщении #1132989 писал(а):

Что дальше?

А дальше надо поставить Максвелловские граничные условия на границах раздела, условие на бесконечности и попытаться разделить переменные. Полезно и потенциал использовать.

[rustot]

$\nabla\vec{D} = \nabla(\varepsilon\vec{E}) = \vec{E}\nabla\varepsilon + \varepsilon\nabla\vec{E} = 0$

$\varepsilon$ и $\nabla\varepsilon$ даны

[TelmanStud]

amon
Не совсем мне понятно, как воспользоваться граничными условиями $D_{1\tau}/D_{2\tau}=\varepsilon_1/\varepsilon_2$ и $E_{1n}=E_{2n}$.

[Munin]

Разделится тут вряд ли что. Мне кажется, скорее можно найти функции Грина. Ну и разумеется, надо разделить задачи с внешним полем и с точечными зарядами.

[TelmanStud]

rustot
Почему $\nabla\vec{D}=0$? Вроде там есть два источника. И как понять $\nabla\varepsilon$?

[rustot]

$\nabla\vec{D} = 0$ потому-что таково уравнение максвелла при отсутствии свободных зарядов $\rho$. Поведение связанных зарядов уже учтено в $\vec{D}$. $\nabla\varepsilon$ это градиент проницаемости, ненулевой на всех границах

Поскольку "градиентная составляющая" поля $-\nabla\mathcal{G}(\nabla\vec{E})$ стремится аккурат к нулю на бесконечности, значит искомое поле $\vec{E} = \vec{E_0} - \nabla\mathcal{G}(\nabla\vec{E}) = \vec{E_0} - \nabla\mathcal{G}(\vec{E}\frac{\nabla\varepsilon}{\varepsilon})$. Но вряд ли это упростит решение, просто мысли вслух.

[TelmanStud]

я не все догоняю, но все таки как будет выглядеть окончательная математическая формулировка задачи

[rustot]

а, извиняюсь, не заметил, там еще и два свободных заряда, тогда все усложняется :)

[DimaM]

TelmanStud в сообщении #1133007 писал(а):

как будет выглядеть окончательная математическая формулировка задачи

$\operatorname{div}{\bf D}=4\pi q(\delta(x_1,y_1)-\delta(x_2,y_2))$ плюс граничные условия непрерывности нормальной компоненты ${\bf D}$ и тангенциальной компоненты ${\bf E}$, плюс связь ${\bf D}$ и ${\bf E}$, плюс условие на бесконечности.

[amon]

Я, каюсь, тоже слона зарядов не приметил. С зарядами как-то все выглядит, IMHO, печально (с точки зрения аналитики). Один из способов - ввести потенциал ($\mathbf{E}=-\nabla\varphi$). Тогда уравнение будет

$$ \Delta\varphi=\begin{cases} \frac{\delta(x-x_1)\delta(y-y_1)}{\varepsilon_1},&\text{в области 1}\\ \frac{\delta(x-x_2)\delta(y-y_2)}{\varepsilon_2},&\text{в области 2} \end{cases} $$

На границах будет непрерывность потенциала ($\varphi(\text{там})=\varphi(\text{сям})$ ;) и условие на скачек нормальной производной ($\varepsilon_\text{там}\frac{\partial\varphi}{\partial\mathbf{n}}(\text{там})=\varepsilon_\text{сям}\frac{\partial\varphi}{\partial\mathbf{n}}(\text{сям}) $). Тогда решение будет выглядеть как-то так:

$$ \varphi=\frac{q_1}{\varepsilon_1|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|}+\frac{q_2}{\varepsilon_2|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|}+\Phi(\mathbf{r}), $$

где $\Phi(\mathbf{r})$ - решение свободного уравнение Лапласа с описанными выше гран. условиями и условием $\nabla\Phi=\mathbf{E}_0\lvert_{r\to\infty}$. Терзают, однако, меня сомнения, что это самое $\Phi(\mathbf{r})$ удастся найти аналитически. Обращаю Ваше внимание на то, что в гран. условия входит $\varphi$, и для $\Phi$ оно становится неоднородным. Все это - те самые, упомянутые Munin'ом, функции Грина для Вашей задачи.

[TelmanStud]

Уффф...попытаюсь разобраться)