Векторное поле на R^3 и его первый интеграл

[scwec]

На $\mathbb{R}^3$ в декартовых координатах $x,y,z$ задано векторное поле
$X=2xz\dfrac{\partial}{\partial{x}}+2yz\dfrac{\partial}{\partial{y}}+(z^2-x^2-y^2+1)\dfrac{\partial}{\partial{z}}$.
Найдите для $X$ первый интеграл (т.е. гладкую функцию $V(x,y,z)$, $X(V)=0$) такой, что поверхности уровня его - двумерные торы.

[DeBill]

$(x^2+y^2)\cdot (x^2 +y^2 +z^2 -1)^2 =C$
Вот только с тороватостью небольшой напряг. Ну, разве что при $0<C<\frac{4}{27}$ ?

[scwec]

DeBill
$V$, которую Вы привели, не первый интеграл для $X$.
$X(V)\ne{0}$
Проверьте еще раз.

[svv]

$V(x,y,z)=f\left(\dfrac{(1+x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2}\right)$
Или, красивее, функция от $\dfrac{1+\rho^2+z^2}{\rho}$, где $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$.
Поверхности уровня будут $(\rho-\ch t)^2+z^2=\sh^2 t$.

[scwec]

Да, это тот первый интеграл, который имелся в виду.
Примечательно следующее обстоятельство: рассмотрим поле $Y=-y\frac{\partial}{\partial{x}}+x\frac{\partial}{\partial{y}}$.
Легко проверить, что коммутатор $[X,Y]=0$ и, сл-но, распределение $\{X,Y\}$ вполне интегрируемо.
Для всех точек $(x,y,z)$ подпространство пространства ${T\mathbb{R}^3}|_{(x,y,z)}$, порожденное $X|_{(x,y,z)}$ и $Y|_{(x,y,z)}$ двумерно за исключением оси $z (x=y=0)$ и окружности $x^2+y^2=1,z=0$ - здесь оно одномерно.
В итоге, одномерные интегральные подмногообразия распределения $\{X,Y\}$ -указанные выше ось $z$ и окружность, а все
остальные интегральные подмногообразия - поверхности уровня найденного $V$ - двумерные торы $\frac{x^2+y^2+z^2+1}{\sqrt{x^2+y^2}}=c$, определенные при $c>2$.

[DeBill]

scwec в сообщении #1132916 писал(а):

Проверьте еще раз.

Проверил: и правда пара знаков не туда попала...

(Оффтоп)

Мораль: вредно писать на огрызках бумаги.

[svv]

scwec
Сюда можно добавить ещё третье векторное поле:
$Z=\dfrac{x^2+y^2-z^2-1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(x\dfrac{\partial}{\partial x}+y\dfrac{\partial}{\partial y}\right)+2z\sqrt{x^2+y^2}\dfrac{\partial}{\partial z}$
Поля $X, Y, Z$ коммутируют.

У меня возникло подозрение, что $X,Y,Z$ являются координатными векторными полями тороидальной системы координат $(\sigma, \tau, \varphi)$. Проверил — подтвердилось:
$X=-2\dfrac{\partial}{\partial \sigma}\quad\quad Z=-2\dfrac{\partial}{\partial \tau}\quad\quad Y=\dfrac{\partial}{\partial \varphi}$

(На самом деле всё было наоборот: выяснив, что $X=-2\dfrac{\partial}{\partial \sigma}$, я нашёл $-2\dfrac{\partial}{\partial \tau}$ и обозначил буквой $Z$. )

[scwec]

Указанное svv поле $Z$ дает возможность использовать технику коммутирующих полей
при получении первых интегралов для $X,Z$. А именно:
в переменных $r=\sqrt{x^2+y^2},z$ на полуплоскости $r,z$ эти поля запишутся так:
$X=2rz\dfrac{\partial}{\partial{r}}+(z^2-r^2+1)\dfrac{\partial}{\partial{z}}$,
$Z=-(z^2-r^2+1)\dfrac{\partial}{\partial{r}}+2rz\dfrac{\partial}{\partial{z}}$.
Поскольку они коммутируют, то дуальные 1-формы к ним являются точными в любой односвязной области
линейной независимости полей. Проинтегрировав 1-формы, получим первые интегралы: в данном случае для $X$ - это ранее найденный $V$, а для $Z$ - это $U=\dfrac{r^2+z^2-1}{z}=\dfrac{x^2+y^2+z^2-1}{z}$.
Поверхности уровня $U$ - двумерные сферы.