Два уравнения в натуральных числах

[Ktina]

Решить в натуральных числах два уравнения:

$$(n!+3)^k+1=m^3$$

и

$$(n!+4)^k+1=m^4$$

[Shadow]

Ktina в сообщении #1131381 писал(а):

$$(n!+3)^k+1=m^3$$

$n=1$
$4^k=(m-1)(m^2+m+1)$ - второй множитель нечетный

$n=2$
$5^k+1 \equiv 2 \pmod 4$

$n=3$
$9^k+1 \equiv 2 \pmod 8$

$n \ge 4$
опять по модулю 8

Ktina в сообщении #1131381 писал(а):

$$(n!+4)^k+1=m^4$$

$n=1$
$5^k+1 \equiv 2 \pmod 4$

$n=2$
$6^k=(m^2-1)(m^2+1)$
$m^2+1$ на 3 не делится...

$n \ge 3$
$n!+4\equiv 1 \pmod 3$
...

[Ktina]

Shadow
Спасибо!
Формулу разности кубов можно не использовать, есть более короткий путь.