Краевая задача

[boss.dima.karpov]

Есть две подобные задачи. Для одной у меня получилось составить неравенство, а вот для другой не получается.
Начну с той, что получилась:
Пусть $B \geqslant \delta E, \delta = const > 0 $, следовательно для решения
$\frac{du}{dt} + Bu = f(t), 0 < t \leqslant T $ (1)
имеем
$||u(t)|| \leqslant e^{-\delta t} (||u(0)|| + \int\limits_{0}^{t} e^{\delta t} ||f(t)|| dt ) $
Решил так:
Из условия $B \geqslant \delta E => (Bu,u) \geqslant \delta(u,u) $ (*)
Далее формулу (1) домножил скалярно на u(t).
Получил:
$(\frac{du}{dt},u) + (Bu,u) = (f,u)$
Имеем:
$(\frac{du}{dt},u) = ||u|| \frac{d}{dt}||u|| $
$(f,u) \leqslant ||f|| * ||u|| $ (Из неравенства Коши — Буняковского)
т.к. B неотрицательное, то:
$\frac{d}{dt}||u|| \leqslant ||f|| $
Что у нас есть:
$||u|| \frac{d}{dt}||u|| + (Bu,u) \leqslant ||f||*||u|| $
вот тут подставили наше условие, которое вывели в (*): $(Bu,u) \geqslant \delta(u,u) $
$ ||u|| \frac{d}{dt}||u|| + \delta(u,u) \leqslant ||u|| \frac{d}{dt}||u|| + (Bu,u) \leqslant ||f||*||u|| $
Теперь, проинтегрировав это уравнение
$ ||u|| \frac{d}{dt}||u|| + \delta(u,u) \leqslant ||f||*||u|| $
я получил это:
$||u(t)|| \leqslant e^{-\delta t} (||u(0)|| + \int\limits_{0}^{t} e^{\delta t} ||f(t)|| dt ) $ (то, что нужно было).


А вот во второй задаче у меня не получается правильно составить неравенство:
Доказать, что для
$ Bu = [Bu](x) = -\frac{d}{dx}(k(x)\frac{du}{dx}), 0<x<l $
$\frac{du}{dt} + Bu = f(t), 0 < t \leqslant T $ (1)
априорной оценкой является
$||u(t)||^2 \leqslant e^{t} (||u(0)|| + \int\limits_{0}^{t} e^{-t} ||f(t)||^2 dt ) $
Начало то же самое, домножил скалярно на u(t).
Получил:
$(\frac{du}{dt},u) + (Bu,u) = (f,u)$
Имеем:
$(\frac{du}{dt},u) = ||u|| \frac{d}{dt}||u|| $
$(f,u) \leqslant ||f|| * ||u|| $ (Из неравенства Коши — Буняковского)
т.к. B неотрицательное, то:
$\frac{d}{dt}||u|| \leqslant ||f|| $
Что у нас есть:
$||u|| \frac{d}{dt}||u|| + (Bu,u) \leqslant ||f||*||u|| $
И тут как-то нужно подставить наше условие $ Bu = [Bu](x) = -\frac{d}{dx}(k(x)\frac{du}{dx}), 0<x<l $
но как?

[Red_Herring]

boss.dima.karpov в сообщении #1131198 писал(а):

$Bu = |Bu|(x) = -\frac{d}{dx}(k(x)\frac{du}{dx}), 0<x<l$

Это что за бред с абсолютным значением в серединке?

[boss.dima.karpov]

Red_Herring в сообщении #1131199 писал(а):

boss.dima.karpov в сообщении #1131198 писал(а):

$Bu = |Bu|(x) = -\frac{d}{dx}(k(x)\frac{du}{dx}), 0<x<l$

Это что за бред с абсолютным значением в серединке?

исправил. виноват. опечатка

[Red_Herring]

А с чего вдруг Вы обозначаете умножение $*$ (используйте $\cdot$)

Не нужно ничего лишнего: если у Вас во второй задаче такой же оператор как и в первой, то используйте Коши с весом в полученной там оценке.

[boss.dima.karpov]

Red_Herring в сообщении #1131213 писал(а):

А с чего вдруг Вы обозначаете умножение $*$ (используйте $\cdot$)

привычка(
да, оператор такой же.
можно немножко подробнее про Коши. пока что-то не догоняю как его применить там

[Red_Herring]

boss.dima.karpov в сообщении #1131216 писал(а):

можно немножко подробнее про Коши. пока что-то не догоняю как его применить там

$$|\int \alpha(x) u(x)v(x)\,dx \le \Bigl(\int \alpha(x) |u(x)|^2\,dx\Bigr)^{\frac{1}{2}} \Bigl(\int \alpha(x) |v(x)|^2\,dx\Bigr)^{\frac{1}{2}} $$

с весом $\alpha \ge 0$

[boss.dima.karpov]

что-то не получается, НО если идти от обратного, т.е. с того, что должно получиться, то прихожу к выводу, что начальное уравнение должно быть такое:
$ ||u|| \frac{d}{dt}||u|| - ||u||^2 \leqslant ||f||*||u|| $
сократим на ||u||
$ \frac{d}{dt}||u|| - ||u|| \leqslant ||f|| $
возьмем все в квадрат
$ \frac{d}{dt}||u||^2 - ||u||^2 \leqslant ||f||^2 $
и если это проинтегрировать, получим оценку, которая нам и нужна, НО вопрос: откуда и как нам получить $ - ||u||^2 в начальном уравнении?

[Red_Herring]

Ваш оператор B положительный, поэтому имеет место неравенство даже с плюсом, а с минусом и подавно. Но я же написал--не надо всё заново.

[boss.dima.karpov]

я просто не понимаю(

[Red_Herring]

Если 2ую задачу Вы написали правильно, то она та же, что и первая, но оценка требуется другая, и эта другая оценка хуже, чем полученная в первой. Впрочем, вторая оценка написана заведомо неверно т.к. $\|u(0)\|$ без квадрата)

[boss.dima.karpov]

Red_Herring в сообщении #1131260 писал(а):

Если 2ую задачу Вы написали правильно, то она та же, что и первая, но оценка требуется другая, и эта другая оценка хуже, чем полученная в первой. Впрочем, вторая оценка написана заведомо неверно т.к. $\|u(0)\|$ без квадрата)

да, там действительно в квадрате.
получается, здесь можно обойтись и без Коши?

[DeBill]

boss.dima.karpov
Мне кажется, что-то Вы от нас скрываете - в постановке второй задачи...
1.Оператор $B$ действует на функции, определенные на неком отрезке. Каком?
2.На элементы какого пространства он действует?
3.Что есть норма в этом пространстве?
4. Кто такой $k$, и какие на него ограничения?

(Оффтоп)

1.Видимо, любой - но заданный изначально. (Скорее, $[0,1]$)
2. Пространство состоит из дважды дифференцируемых на отрезке ф-й, равных 0 на концах отрезка (?)
3. Стандартная $L_2$ - норма, и соответствующее скалярное произведение. Или: с весом $k$ ?
4. Видимо, дифф-я, ПОЛОЖИТельная (?), не меньшая чем 1 (?)

И вот когда честно будут написаны все условия, можно и посмотреть, что будет..

(Оффтоп)

Да Вы после этого и сами, видимо, все увидите

[boss.dima.karpov]

DeBill в сообщении #1131311 писал(а):

boss.dima.karpov
Мне кажется, что-то Вы от нас скрываете - в постановке второй задачи...
1.Оператор $B$ действует на функции, определенные на неком отрезке. Каком?
2.На элементы какого пространства он действует?
3.Что есть норма в этом пространстве?
4. Кто такой $k$, и какие на него ограничения?

(Оффтоп)

1.Видимо, любой - но заданный изначально. (Скорее, $[0,1]$)
2. Пространство состоит из дважды дифференцируемых на отрезке ф-й, равных 0 на концах отрезка (?)
3. Стандартная $L_2$ - норма, и соответствующее скалярное произведение. Или: с весом $k$ ?
4. Видимо, дифф-я, ПОЛОЖИТельная (?), не меньшая чем 1 (?)

И вот когда честно будут написаны все условия, можно и посмотреть, что будет..

(Оффтоп)

Да Вы после этого и сами, видимо, все увидите

Задача:

[DeBill]

boss.dima.karpov
1.18 - это уравнение, видимо. Кто такие 1.19, 1.20?

[boss.dima.karpov]

DeBill в сообщении #1131340 писал(а):

boss.dima.karpov
1.18 - это уравнение, видимо. Кто такие 1.19, 1.20?

1.18 - это оператор. и он неотрицательный.
1.19 - уравнение.
1.20 - начальное условие.