Когда метод Монте-Карло лучше равномерной сетки?

[atlakatl]

Стандартный ответ, который я встречал в литературе: когда область значений очень велика и применение равномерной сетки превышает наши вычислительные возможности. - Ну а если проверять вычислимое число значений, то шаг сетки получается слишком грубым.
А метод Монте-Карло (ММК) при одинаковом числе вычислений чем лучше в этом случае?
Про "грубость шага" тут речь уже не идёт. - Да только потому, что оценить его трудно. Но это же просто надевание повязки на глаза.
Да, когда есть подозрение, что функция имеет характерные особенности именно в узлах сетки, ММК необходим.
А в прочих случаях? Которых явное большинство?

[dsge]

atlakatl в сообщении #1131145 писал(а):

когда область значений очень велика и применение равномерной сетки превышает наши вычислительные возможности.

Когда размерность области определения велика. Размер не имеет значения .
ММК учитывает те области, где значение функции непренебрежимо, а для равномерной сетки большинство узлов могут оказаться в областях, где значения функции мало, а там, где она существенна число узлов будет скудно. Либо точность мала, либо число узлов велико и почти все не там где надо.

[atlakatl]

dsge
Имеем 20-мерную область значений. На ней задана какая-то функция. Наших вычислительных возможностей хватает на $5^{20}=10^{14}$ вычислений.
С равномерной сеткой просто строим 20-мерный куб с 5 значениями на каждой грани.
Что делаем в ММК и чем это лучше сетки?

[dsge]

Представьте себе функцию плотности нормального распределения (хоть 20-мерную), которую надо проинтегрировать, ММК будет концентрировать выбранные точки в окрестности моды, изредка значительно отклоняясь. Равномерная сетка большинство узлов выберет, где значения функции очень мало.

[ewert]

Десять в четырнадцатой отсчётов даст по Монте-Карло относительную погрешность порядка десять в минус седьмой. В то время как тот же Симпсон на пятиузловых сетках даст в лучшем случае десять в минус третьей.

[atlakatl]

dsge
Не понимаю.
Возьмём 1-мерную функцию распределения. - Какую обычно рисуют. Её надо проинтегрировать.
Считаем методом прямоугольников.
Что делает ММК?

[dsge]

atlakatl в сообщении #1131154 писал(а):

Что делает ММК?

Выбирает случайно точку в соответствии с нормальным распределением. Вероятность, что точка будет далека от среднего, будет мала. Потом берет среднее арифметическое по всем точкам значений функции, аргументы которых в своём большинстве будут в окрестности среднего (примерно 99% точек попадет в интервал плюс минус 3 сигма).

[ewert]

dsge в сообщении #1131155 писал(а):

Выбирает случайно точку в соответствии с нормальным распределением.

Равномерным.

[atlakatl]

dsge в сообщении #1131155 писал(а):

Вероятность, что точка будет далека от среднего, будет мала.

Чем случайно выбранная точка ближе к среднему, чем, скажем, точка посередине интервала?

[dsge]

atlakatl в сообщении #1131159 писал(а):

точка посередине интервала?

Какого интервала?

ewert в сообщении #1131156 писал(а):

Равномерным.

Предполагается для простоты изложения, что рандом-генератор уже для нормального.

[atlakatl]

dsge
Интервала, на котором мы интегрируем $(a;b)$

[ewert]

dsge в сообщении #1131160 писал(а):

Предполагается, что рандом генератор уже для нормального.

Не предполагается. Нормальность там возникает уже потом, как результат ЦПТ. Генерируется же распределение, естественно, равномерное (с отбраковкой по области интегрирования).

[dsge]

atlakatl в сообщении #1131159 писал(а):

Чем случайно выбранная точка ближе к среднему, чем, скажем, точка посередине интервала?

Вероятность, что случайная точка будет далека от моды (для нормального мода совпадает со средним) мала. Если взять стандартное нормальное распределение, то для равномерных точек и интервала плюс минус 3 , 17% точек попадет в интервал от [2,3]-это несоразмерно большой вес этих точек, учитывая, что значения функции там малы; для нормально распределенных примерно 2% точек.

ewert в сообщении #1131164 писал(а):

Не предполагается. Нормальность там возникает уже потом, как результат ЦПТ. Генерируется же распределение, естественно, равномерное (с отбраковкой по области интегрирования).

В стандартном софте (включае ЕКСЕЛЬ) можно не заморачиваться равномерным распределением, генерируется уже нормальное.

[atlakatl]

dsge
Мы интегрируем. Хорошо, пусть функцию, примерно соответствующую нормальному распределению. И если мы большинство точек выберем в районе максимума, то мы просто завысим значение интеграла.

[ewert]

dsge в сообщении #1131165 писал(а):

генерируется уже нормальное.

Генерировать можно всё, что угодно, но не всё нужно. Для интегрирования необходимо именно равномерное, нормальное же и вовсе не при чём.