Интегрирование по бесконечному промежутку функциональн. ряда

[maph]

Здравствуйте!
Интересуют условия, при которых можно почленно интегрировать (по Риману) по бесконечному промежутку функциональный ряд:$ \int\limits_{x_0}^{x_1} \sum\limits_{k=0}^\infty f_k(t) \, dt = \sum\limits_{k=0}^\infty \int\limits_{x_0}^{x_1} f_k(t) \, dt, \ x_0, x_1 \in \mathbb R, \ f_k(t) : \mathbb R \to \mathbb R $. Подскажите, пожалуйста, книги, где есть такая теорема с доказательством.
Спасибо!

[Otta]

Возьмите любой добротный учебник по анализу. Зорич, Фихтенгольц etc - по предпочтению. Раздел "Равномерная сходимость". Ройте в сторону равномерной сходимости несобственных интегралов и рядов, а также теорем о почленном интегрировании. Искать специально что-то не хочется, - мне для этого придется проделать ту же работу, что и Вам - скачать учебник, найти раздел, ...

[demolishka]

Говорите --- бесконечный промежуток, а пишете

maph в сообщении #1131110 писал(а):

$\ x_0, x_1 \in \mathbb R$

--- конечный.

Если вопрос именно по бесконечному промежутку, то нетрудно применить идею с равномерной сходимостью и конечным промежутком, наложив соответствующие условия (на примере промежутка $[1;+\infty)$ и ряда $\sum\limits_{k} f_k(x)$):
1. Ряд $\sum\limits_{k}\int\limits_{1}^{+\infty}f_k(x) dx$ сходится,
2. Ряд $\sum\limits_{k} f_k(x)$ сходится равномерно на отрезках вида $[1;b] \subset [1;+\infty)$,
3. Ряд $\sum\limits_{k}\int\limits_{1}^{b}f_k(x) dx$ сходится равномерно по $b \in (b_0;+\infty)$ для некоторого $b_0 \geq 1$.

[Otta]

Я, конечно, ничего уже не помню, но насколько понимаю, третий пункт вполне достаточно заменить равномерной сходимостью несобственного интеграла от каждого слагаемого ряда, а первый выбросить вовсе - он следует из доказательства.

[demolishka]

Я правильной формулировки не встречал (в Фихтенгольце, кстати, не нашел), поэтому делал "в тупую":
$\lim\limits_{b \to +\infty} \int\limits_{1}^{b} \sum\limits_{k=1}^{\infty}f_k(x) dx = \lim\limits_{b \to +\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{1}^{b} f_k(x)dx = \sum\limits_{k=1}^{N(\varepsilon)}\int\limits_{1}^{+\infty} f_k(x)dx + O(\varepsilon)$.
Применили сначала пункт 2, потом пункт 3. Далее предельный переход при $\varepsilon \to 0$ с использованием пункта 1.

[Otta]

Не, мой вариант отпадает: вместо равномерной сходимости интегралов от слагаемых (то-то она меня смущала) придется требовать равномерную сходимость несобственных интегралов от частичных сумм ряда (равномерную на $\mathbb N$), а это нефункционально - фиг проверишь.

Так что в этом смысле Ваш вариант лучше, однако же тогда нужно оставить третье условие, добавить сходимость несобственного интеграла от каждого слагаемого, а все остальное - лишнее. )*

Доказывается как прямое следствие теоремы о перестановке пределов.

У Фихтенгольца эта теорема сформулирована, пожалуй, в наиболее простом виде (хотя и не в максимально общем). Но зато без затей. http://alexandr4784.narod.ru/F2/14_3.pdf Страница 697.

--------
)* Надо сказать, что третье условие само по себе тоже довольно плохо проверяется, но в условиях непрерывности оно в некотором смысле эквивалентно первому (то есть равномерной сходимости самого ряда). Это надо бы написать хорошо, но уже мысли в слова не складываются. Потом сложу, если никто не опередит.

[DeBill]

maph
Просто проверяемые достаточные условия такие :Ряд из модулей сходится, и сходится интеграл от его суммы....
Но Вам, небось, нужны непростые.....

[Otta]

DeBill
Это если только Лебегом пришибить, иначе не хватит.

[Brukvalub]

maph в сообщении #1131110 писал(а):

Интересуют условия, при которых можно почленно интегрировать (по Риману) по бесконечному промежутку

Это просто нонсенс какой-то! Интеграл Римана принципиально определен только по отрезкам.

[Padawan]

Padawan в сообщении #358414 писал(а):

Теорема для неабсолютно сходящихся несобственных интегралов
Теорема. Пусть на любом конечном отрезке $[a,\lambda]$ верно $\int\limits_a^\lambda \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^\lambda f_n\, dx$. Если $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\sum\limits_n\int\limits_\lambda^{+\infty} f_n\, dx=0$, то $\int\limits_a^{+\infty} \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx$ (предполагается, что все написанные несобственные интегралы сходятся).

Может подойдет?

-- Пн июн 13, 2016 23:59:57 --

Посмотрите в книге Титчмарш Теория функций

[maph]

demolishka в сообщении #1131130 писал(а):

Говорите --- бесконечный промежуток, а пишете

maph в сообщении #1131110 писал(а):

$\ x_0, x_1 \in \mathbb R$

--- конечный.

Да, нужно черту добавить: $\ x_0, x_1 \in \mathbb{ \bar R }$. Только не знаю, как это правильно набрать в LaTexe.

-- 14.06.2016, 23:17 --

Brukvalub в сообщении #1131353 писал(а):

Это просто нонсенс какой-то! Интеграл Римана принципиально определен только по отрезкам.

Фихтенгольц использует термин промежуток. (См. стр. 597 книги Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 864 с.)

[Brukvalub]

maph в сообщении #1131636 писал(а):

Фихтенгольц использует термин промежуток. (См. стр. 597 книги Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 864 с.)

Ага, а еще это издание Фихтенгольца написано кирилицей слева направо и сверху вниз!
Еще раз, медленно: интеграл Римана определен ТОЛЬКО на отрезке с вещественными концами. Интеграл по бесконечному промежутку нигде (включая учебник Фихтенгольца) интегралом по Риману не называется!

[maph]

У него и для промежутка [a, b] интеграл "без Римана", но пишется, что определение принадлежит Риману.

-- 15.06.2016, 00:16 --

DeBill
Конечно, хотелось бы наиболее слабые ограничения. Но сейчас ищу любую литературу, где затронута эта тема.

[maph]

Padawan
Спасибо за Титчмарша! У него в пункте 1.7.7 (Теория функций, 1980) есть эта тема. Подскажите, пожалуйста, где можно найти указанную Вами теорему?

[Padawan]

maph
Вроде в том же Титчмарше и есть. Возможно, в других его книжках видел, про дзета-функцию и интеграл Фурье. В любом случае, утверждение почти тривиальное. Доказывается в одну строчку.
$\int\limits_a^{\lambda} \sum\limits_n f_n\, dx=\sum\limits_n\int\limits_a^{\lambda} f_n\, dx=\sum\limits_n\left(\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx-\int\limits_{\lambda}^{+\infty} {f_n}\, dx\right)=\sum\limits_n\int\limits_a^{+\infty} f_n\, dx-\sum\limits_n\int\limits_\lambda^{+\infty} f_n\, dx$
Перейдем к пределу в при $\lambda\to+\infty$.