Тригонометрическое уравнение

[kda_ximik]

Добрый день!
Есть уравнение:

$\tg3x=\frac{\sqrt{2-3\sin^2x}}{cosx}$

тангенс тройного угла выразил через синус и косинус тройного угла, исчезает косинус в зенаменателе. Имеем:

$\frac{3\sinx-4\sin^3x}{4\cos^2x-3}=\sqrt{2-3\sin^2x}$

Переходим к синусам:

$\frac{3\sinx-4\sin^3x}{1-4\sin^2}=\sqrt{2-3\sin^2x}$

ОДЗ пока не трогаю. Решаю "в лоб". Принимаем $sinx$ за $t$.

$\frac{3t-4t^3}{1-4t^2}=\sqrt{2-3t^2}$

Не накладывая дополнительных условий, возводим в квадрат, упрощаем:

$32t^6-40t^4+14t^2-1=0$ $32k^3-40k^2+14k-1=0$

Неприятное уравнение на первый взгляд... Зная, что $k$ может принимать только неотрицательные значения, можно прикинуть, где будут корни. Как ни странно, но минимум и максимум у функции находятся безболезненно:
$k_{min}=\frac{7}{12}, k_{max}=\frac{1}{4}$

$f(k_{min})\approx-0.09, f(k_{max})=0.5$

$f(0)=-1, f(1)=5$

Получается, что функция $f(k)=32k^3-40k^2+14k-1$ трижды пересекает ось Ох в интервале от $0$ до $1$. При этом не знаю, как подступиться к этому уравнению.

Но, к сожалению, все эти разговоры не привели к финалу.

-- 11.06.2016, 17:52 --

А-а-а-а! Все, вопрос снят:
поделил на $k^3$, получилось:

$32-\frac{40}{k}+\frac{14}{k^2}-\frac{1}{k^3}=0$

$\frac{1}{k}=s$

$s^3-14s^2+40s-32=0$

тут все проще!

[ShMaxG]

kda_ximik
Как-то у вас все сложно получается. Вот вы получили

kda_ximik в сообщении #1130809 писал(а):

$\frac{3t-4t^3}{1-4t^2}=\sqrt{2-3t^2}$

возвели обе части в квадрат. Там получается вот такое уравнение

$$4{t^2} - 3 + \frac{1}{{{{\left( {4{t^2} - 1} \right)}^2}}} = 0$$

Остается только сделать замену $z=4t^2-1$, и вы придете к очень простому уравнению

$${z^3} - 2{z^2} + 1 = 0$$

один из корней которого очевиден.

[kda_ximik]

Да, спасибо! Возможно, так будет даже короче!

Но проблема даже и не в этом. Если решать дальше, то получится набор корней:
$t_{1,...,6}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{8}}, \pm\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}} $

C первой парой корней по-проще - ответ через $\pi$ очевиден. А вот с двумя другими парами ответ далеко неочевиден. А в ответах фигурирует $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{3\pi}{10}$.
Конечно, можно на Википедии найти синусы более мелких углов и сравнить, но так уравнения не решаются...
Что делать?

[ShMaxG]

Ну мало ли, что в ответах написано. Если знать, к примеру, что

$$\sin{18^\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$

то ответ можно получить в более компактном виде. Мне как-то не очевидно, как можно было с самого начала решать исходное уравнение, чтобы придти к ответу в форме $\pi/10$ и др.

[Otta]

kda_ximik

kda_ximik в сообщении #1130809 писал(а):

тангенс тройного угла выразил через синус и косинус тройного угла,

Вот этого не надо.
Возведите обе части в квадрат, после преобразований получится что-то вроде $\tg^2 3x+\tg^2 x=2$.
Здесь полностью избавьтесь от тангенсов, выразив их через косинусы тех же аргументов. Понижайте степень, преобразуйте всячески - там много формул будет напрашиваться, косинус суммы, сумма косинусов и т.д., в результате получится простенькое уравнение вроде
$\cos x\cos 2x \cos 5x =0$. Ну а дальше Вы знаете.

[ewert]

Otta в сообщении #1130938 писал(а):

там много формул будет напрашиваться, косинус суммы, сумма косинусов и т.д., в результате получится простенькое уравнение вроде
$\cos x\cos 2x \cos 5x =0$.

На самом деле там ничего не надо напрашивать, а надо просто тупо понижать все степени до первой стандартными приёмами (причём вовсе не обязательно выражать тангенсы через именно косинусы, хотя технически это и впрямь немного проще). Конечный результат уж всяко не будет зависеть от порядка действий; а там уж как повезёт, и вовсе не факт, что повезёт. Но данный конкретный случай воистину счастливый, поскольку получится $\cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0$. И вот теперь-то уже действительно напрашивается сворачивание симметричных сумм в произведения.

[Otta]

ewert в сообщении #1131006 писал(а):

а надо просто тупо понижать все степени до первой стандартными приёмами

А я что говорю?

ewert в сообщении #1131006 писал(а):

Конечный результат уж всяко не будет зависеть от порядка действий; а там уж как повезёт, и вовсе не факт, что повезёт. Но данный конкретный случай воистину счастливый, поскольку получится $\cos2x+\cos4x+\cos6x+\cos8x=0$.

От порядка действий будет зависеть, встретится ли в цепочке такое уравнение. У меня вот не встретилось. Проскочила.

Отлично, что Вы со мной согласны.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1131013 писал(а):

От порядка действий будет зависеть, встретится ли в цепочке такое уравнение

Если начать с умножения на косинусы, то после доведения до первых степеней ничего другого получиться не может.

[Otta]

(Оффтоп)

Если бы моей целью было доведение до первых степеней - то конечно. Но моей целью (меня можно понять) было разложение на множители. Так что получилось сразу $\cos 2x(\cos 6x+\cos 4x) = 0$. Безусловно, это то же. Это все, что я могу еще добавить, - спор, как всегда, ни о чем.

[ewert]

(Оффтоп)

Я и не спорю. Я просто попытался предложить наиболее тупой способ.