опреленный интеграл с триг. функц. в показателе экспоненты

[salang]

$\int_0^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx$. Один раз случайно в альфе получил результат от похожей функции: $\int_{0}^{2 \pi} \exp(a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp^{0,5 (a - b)} I_0(0,5 (a + b))$. Но т.к. отличие только в знаке перед косинусом, мне кажется, что результат должен существовать и для первого выражения.

[Vince Diesel]

Если второй результат верен для любого $a$, то подставляете $-a$ вместо $a$ и получаете первый.

[ewert]

salang в сообщении #1130717 писал(а):

Один раз случайно в альфе получил результат от похожей функции:

Она не просто похожа -- она буквально та же с точностью до обозначений (т.к. по желанию легко убить или синус, или косинус).

[salang]

Vince Diesel в сообщении #1130723 писал(а):

Если второй результат верен для любого $a$

не уверен, что для любого

ewert в сообщении #1130736 писал(а):

Она не просто похожа -- она буквально та же с точностью до обозначений (т.к. по желанию легко убить или синус, или косинус).

если все так просто, то почему альфа не выдает результат?

[ewert]

salang в сообщении #1130744 писал(а):

не уверен, что для любого

Для любого. Это -- стандартное интегральное представление для фунции Бесселя мнимого аргумента:

$$I_n(z)=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}e^{z\cos t}\cos(nt)\,dt.$$

А функция эта -- целая, т.е. аналитическая на всей комплексной плоскости.

[salang]

ewert в сообщении #1130749 писал(а):

Для любого. Это- стандартное интегральное представление для фунции Бесселя мнимого аргумента:

$$I_n(z)=\frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}e^{z\cos t}\cos(nt)\,dt.$$

вроде у меня нет множителя $\cos(nt)$

[ewert]

salang в сообщении #1130755 писал(а):

вроде у меня нет множителя $\cos(nt)$

Есть, просто его не видно.

[salang]

Почему-то получаются разные результаты при таких преобразованиях одного и того же подынтегрального выражения: $\int_{0}^{2 \pi} \exp(a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp (0,5 (a - b)) I_0(0,5 (a + b))$ и $\int_0^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(-b((a/b) \cos^2 (x)+1- \cos^2 (x))) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(-b(1+(a/b-1) \cos^2 (x))) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(c+d \cos^2 (x)) dx=2 \pi \exp(c+0,5d)I_0(0,5c)$.
Как правильно-то?

[svv]

Ваши результаты различаются по трём причинам.
1. В первом варианте коэффициент при косинусе $+a$, во втором $-a$. Вы же не восприняли совет Vince Diesel так, будто изменение знака этого коэффициента не влияет на результат?
2. Чтобы сравнивать результаты, во втором варианте в конце надо всё-таки выразить $c$ и $d$ через $a$ и $b$:
$c=-b\quad\quad d=-a+b$
3. В последнем переходе второго варианта явная ошибка: $e^c$ можно как постоянный множитель вынести за знак интеграла, в котором после этого не будет $c$, поэтому аргументом $I_0$ уже никак не может быть $\frac c 2$.

[salang]

второй вариант исправил, но все равно отличается от первого
$\int_0^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(-b((a/b) \cos^2 (x)+1- \cos^2 (x))) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(-b(1+(a/b-1) \cos^2 (x))) dx=\int_0^{2 \pi} \exp(c+d \cos^2 (x)) dx=\exp(c) \int_0^{2 \pi} \exp(d \cos^2 (x)) dx=\exp(c) 2 \pi \exp(0,5d)I_0(0,5d)=\exp(-b) 2 \pi \exp(0,5(b-a))I_0(0,5(b-a))$.
А как заменить знак для а у первого варианта?

[svv]

По совету Vince Diesel. Если
$\int_{0}^{2 \pi} \exp(a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp(0,5 (a - b)) I_0(0,5 (a + b))$
справедливо для любых $a$ и $b$, то для любых $a$ и $b$ также верно
$\int_{0}^{2 \pi} \exp(a \cos^2 (x)+b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp(0,5 (a + b)) I_0(0,5 (a - b))$
$\int_{0}^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 (x)-b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp(0,5 (-a - b)) I_0(0,5 (-a + b))$ (*)
$\int_{0}^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 (x)+b \sin^2 (x)) dx=2 \pi \exp(0,5 (-a + b)) I_0(0,5 (-a - b))$
Т.е. Вы можете в левой части изменить $a$ на $-a$, но значение интеграла будет уже другим: в правой части тоже $a$ изменится на $-a$ (и $-a$ на $a$).

Во втором варианте (для $\int_{0}^{2 \pi} \exp(-a \cos^2 x-b \sin^2 x) dx$) у Вас всё правильно, остаётся только перемножить экспоненты:
$\exp(-b)\exp(0,5(b-a))=\exp(0,5(-b-a))$ ,
и теперь результат будет как в формуле, помеченной звёздочкой.