Найти предел

[GevorgyanH1]

Пусть $f$ интегрируема на отрезке $[0,1]$ и пусть существует предел $\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x)$. Задача состоит в нахождении

$$\displaystyle \lim_{x \to 0+}x\int_{x}^1 \dfrac{f(t)}{t^2} dt$$

. Единственное, что я скажу, лопиталить у нас здесь ничего не получится. + для любого $t$ $f(t) = 1$ мы имеем предел, стремящийся к 1.

[mihaild]

GevorgyanH1 в сообщении #1130651 писал(а):

для любого $t$ мы имеем $f(t) = 1$.

Ну раз у вас явно задана функция - честно посчитайте интеграл под пределом.

[demolishka]

А что Вы собрались лопиталить? Первообразная стопроцентно существует только у непрерывной функции. А по условию $f$ --- всего лишь интегрируемая.

Здесь надо тупо использовать конечность предела для функции и оценить предел интеграла сверху и снизу с произвольной точностью.

[Brukvalub]

Доказывайте, что предел равен $\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x)$. Для этого
1. Докажите, что для любого $c\in (0 ; 1)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0+}x\int_{x}^1 \dfrac{f(t)}{t^2} dt=\displaystyle \lim_{x \to 0+}x\int_{x}^c \dfrac{f(t)}{t^2} dt$
2. Если $\displaystyle \lim_{x \to 0+}f(x)=0,$ то с помощью п.1 легко доказать оценкой модуля интеграла сверху, что и $\displaystyle \lim_{x \to 0+}x\int_{x}^1 \dfrac{f(t)}{t^2} dt=0$
3. Теперь, вычитая из функции $f(x)$ ее предел в нуле, получаем требуемое.