Многоугольники, равные по периметру, но не по площади

[Ktina]

Можно ли квадрат разрезать на три многоугольника, равных по периметру, но неравных по площади?
(источник задачи: http://sesc.nsu.ru/vsesib/archive/2007/ ... math_t.pdf)

После долгих мучений с шахматной доской у меня получилась вот такая странная конструкция:


Получилась она чисто случайно, а хотелось бы уловить основную идею задачи.
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю.

[kknop]

Не очень понятно, какая именно идея тут ищется.
Ясно, что "не равные по площади" - отягчающее условие, но оно легко может быть выполнено, если линии разреза внутри квадрата достаточно большие.
Пусть точки на границах квадрата - A,B,C, а общая точка трех многоугольников - D. Выбрав все четыре точки (координатно), мы автоматически определяем и периметр полученных клетчатых фигур (например, длина участка от A до D всегда будет равна сумме модулей разности координат этих точек).

Подобрав четыре точки, чтобы уравнять периметры, затем проведем конкретные линии между точками "как угодно" и вычислим получившиеся площади. Если они уже попарно различны, то все ок. Если какие-то две одинаковы, то можно пошевелить одну из линий (проложив ее по другой клетчатой траектории, захватив на 1 клетку больше; это не изменит ее периметра) так, чтобы увеличить площадь одной и уменьшить площадь другой. Если это приводит к тому, что какая-то из площадей оказывается равной третьей, то нужно увеличить масштаб в два раза, то есть уменьшить вдвое размер клетки и пошевелить площади на одну новую клетку, вчетверо меньше прежней).

[Ktina]

kknop
Спасибо!