Асимптотика устойчивых распределений в нуле

[alisa-lebovski]

Интересуют устойчивые распределения на положительной полуоси с преобразованием Лапласа $e^{-\lambda^\alpha}$, $\alpha\in (0,1),$ с точки зрения асимптотики функции распределения $G_\alpha$ в нуле (именно в нуле, а не на бесконечности, там дело известное). В Феллере есть формула $e^{x^{-\alpha}}G_\alpha(x)\to 0$, $x\to 0,$ но хотелось бы что-то более точное.

[Vince Diesel]

А что такое $G_\alpha$, обратное преобразование Лапласа от $e^{-\lambda^\alpha}$?

[alisa-lebovski]

Это исходная функция распределения, т.е. $G_\alpha(0)=0$,

$$\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}dG_{\alpha}(x)=e^{-\lambda^\alpha},\quad \lambda>0.$$

[Vince Diesel]

Для $\alpha=1/2$ математика дает явный ответ:

$$ G'(x)=L^{-1}[e^{-\lambda^{1/2}}]=\frac{e^{-\frac{1}{4x}}}{2 \sqrt{\pi } x^{3/2}}. $$

Интегрируя от нуля до $x$ получим $G$ $-$ тоже выйдет убывание типа $e^{-\frac{1}{4x}}$.

ЗЫ. С помощью нестрогих рассуждений и совершенно левых предположений можно сформулировать гипотезу: $G(x)\sim e^{-c_\alpha x^{-\alpha/(1-\alpha)}}$ с точностью до степенных множителей.

Если предыдущее верно то, возможно, $c_\alpha=\alpha^{\frac{1}{1-\alpha }}$.

[alisa-lebovski]

Таки нашла в книге В.М.Золотарева "Одномерные устойчивые распределения". Степень $x$ в экспоненте действительно такая, а коэффициент не совсем.

[Vince Diesel]

alisa-lebovski
Интересно, а какой там правильный ответ?

[alisa-lebovski]

$c_\alpha=(1-\alpha)\alpha^{\alpha/(1-\alpha)}.$