Вопрос по коммутируемости матриц

[Arastas]

Добрый день!
Дана квадратная матрица $A$. Она коммутирует с любой матрицей вида

$$T=\sum_{i=0}^n{a_iA^i}.$$

Я не могу найти ответа на вопрос, существуют ли такие матрицы $T$, что они коммутируют с $A$, но не являются её полиномом? Как вообще можно показать, что какая-то матрица представима или не представима как полином от другой матрицы? Спасибо.

[iifat]

Arastas в сообщении #1129738 писал(а):

какая-то матрица представима или не представима как полином от другой матрицы

Как вариант: насколько я помню, каждая матрица есть корень некоего полинома. Стало быть, первые $n-1$ ($n$ — степень оного) степеней образуют базис пространства полиномов. Остаётся тривиальщина: проверить, разлагается ли матрица в этом базисе.

[ShMaxG]

Arastas в сообщении #1129738 писал(а):

Я не могу найти ответа на вопрос, существуют ли такие матрицы $T$, что они коммутируют с $A$, но не являются её полиномом?

Обратная к $A$.

UPD. Впрочем, нет. Раз матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, то обратная (если существует) тоже будет полиномом от $A$.

[iifat]

Ах да, вспомнил: одним из упомянутых многочленов является характеристический многочлен. Хотя могут найтись и другие, меньшей степени.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #1129743 писал(а):

Обратная к $A$.

Почему? Она вполне себе полином (интерполяционный).

[iifat]

ShMaxG в сообщении #1129743 писал(а):

Обратная к $A$

Опять же: если $P(x)$ — минимальный многочлен матрицы, то $A^{-1}P(A)=0$, то бишь, обратная матрица (буде таковая имеется) также разлагается в базисе степеней.

[ShMaxG]

ewert, iifat
Ну да, я когда нажимал "отправить", то сообразил, что и обратная тоже полином Поэтому поправил себя наверху.

[g______d]

Допустим, $A$ единичная. Тогда с ней коммутируют все матрицы, а полиномами являются не все, далеко. Такое возникает всегда (на самом деле, тогда и только тогда), когда у $A$ есть вырожденные собственные значения.

[ewert]

Про "всегда" не помню, а вот "только тогда" верно по очевидным причинам: если матрица -- с простым спектром, то любая коммутирующая с ней имеет тот же собственный базис.

[Arastas]

Спасибо!

iifat в сообщении #1129748 писал(а):

$A^{-1}P(A)=0$, то бишь, обратная матрица (буде таковая имеется) также разлагается в базисе степеней.

Вы не могли бы пояснить, пожалуйста, почему из первого следует второе? Как проверить, что матрица $B$ может быть разложена в базисе степеней $A$?

[ewert]

Arastas в сообщении #1129764 писал(а):

Как проверить, что матрица $B$ может быть разложена в базисе степеней $A$?

Раскрыть скобки и учесть, что свободный член -- ненулевой.

[DeBill]

Arastas
А что, $\exp (A)$ (в случае, когда $A$ не является нильпотентной (и еще - иногда....)), Вам не подходит?

[g______d]

Упражнение: $\exp(A)$ всегда является полиномом от $A$ (в конечномерном случае, разумеется).

[DeBill]

g______d
Вах, и правда: у нас же есть характеристический многочлен, который зануляет нашу матрицу...
Так что любая аналитическая функция от матрицы - многочлен, однако...

-- 08.06.2016, 00:24 --

Ну, мы знаем описание коммутирующих матриц: у них инвариантные подпространства должны совпадать...
Ну, пусть $C$ - нильпотентная два-на-два , с единичкой над диагональю, $D=2C$, $A$ имеет на диагонали блоки $C,D$, а $T$ - блоки $D,C$...
Конечно, пример g______d дает ответ, но хотелось что-то более нетривиальное....
Про вырожденность: не обязательно: прибавление скалярной матрицы не влияет на коммутативность.

[ewert]

g______d в сообщении #1129751 писал(а):

Такое возникает всегда

А с чем коммутирует жорданова клетка?