Монотонные функции и односторонний предел

[ProPupil]

Здравствуйте. Возникла следующая проблема. Имеется $\varphi(x)$ - произвольная неубывающая на $\mathbb R$ ф-ия. Функция $F(x)$ определена как $F(x) = \varphi(x+0).$

Надо доказать, что $F(x-0) = \varphi(x-0)$.

Мои попытки:

По определению,

$$\forall x \in \mathbb R, \delta > 0 \quad \exists \eta = \eta(\delta): \quad 0 < \varepsilon < \eta \Rightarrow |\varphi(x+\varepsilon)-F(x)| < \delta$$

Соответственно, я докажу утверждение, если я покажу, что при тех же условиях |\varphi(x-\varepsilon) - F(x-\varepsilon)| < \delta.

$$|\varphi(x-\varepsilon) - F(x-\varepsilon)| \leq |\varphi(x-\varepsilon) - \varphi(x)| + |\varphi(x) - F(x-\varepsilon)|$$

.

Последнее слагаемое меньше $\delta$ по определению, но второе я не могу оценить, поскольку про свойство непрерывности ничего сказано. Я только могу сказать, что у монотонной функции не более, чем счётное число точек разрыва, и они все - первого рода. В точках непрерывности всё получается хорошо, а что делать в точке разрыва?

[NSKuber]

ProPupil в сообщении #1129667 писал(а):

Последнее слагаемое меньше $\delta$ по определению

К сожалению, даже это неверно. Возьмите в качестве $\varphi$ "ступеньку", равную единице при $x\geqslant 0$ и нулю иначе, и точку $x=0$.

[INGELRII]

Так просто рассмотрите все возможные случаи разрыва, их всего-то три вида: значение функции в точке разрыва равно: левому пределу; правому пределу; промежуточному между левым и правым пределами значению. Ни один из этих случаев проблем не вызовет.

Кстати, даже если разрешить $\varphi$ вообще не иметь значения в точке разрыва, то утверждение все равно верно.

Upd: а нет, проблемы-то будут! В случае, когда функция имеет счетное множество разрывов, причем оба множества точек разрыва (слева и справа) имеют рассматриваемую нами точку как предельную - придется таки побултыхаться...

[ewert]

ProPupil в сообщении #1129667 писал(а):

По определению,

Не стоит по определению.

1). Докажите, что $F(x-0)\geqslant\varphi(x-0)$ (это тривиально).

2). А затем, что $F(x-0)\leqslant\varphi(x-0)$. Здесь проще всего воспользоваться одним принципиальным фактом: $F(x-0)=\lim\limits_{n\to\infty}F(x_n)$ для любой последовательности $x_n\to x-0$. Вот и выберите для каждой из функций свою последовательность так, чтобы одна из них отставала бы от другой.

[ProPupil]

ewert, благодарю, всё получилось. А последнее всё-таки по сути по определению предела, только по Гейне