инвариантность корневого подпространства

[loser228]

Есть задача (может и вполне тривиальная), но я почему-то столкнулся с трудностями. Имеется линейный оператор $\varphi: V \to V $, корневое подпространство $V(\chi)$ и нужно доказать его инвариантность относительно оператора $\varphi$. Мои рассуждения:
Возьмём вектор $v$ из $V(\chi)$, имеем по определению корневого вектора что $\exists n\in \mathbb{N} | (\varphi-\chi id)^n(v)=\vec{0}$. А надо получить, что для какого-то $m\in \mathbb{N}$ выполняется $(\varphi-\chi id)^m(\varphi(v))=\vec{0}$. Пытался в качестве $m$ брать $n$ из определения корневого вектора, но у меня почему-то получилось лишь для $n=1$. Как перейти к общему случаю или нужно как-то по-другому действовать ?

[ewert]

Докажите, что инвариантность относительно оператора $A$ равносильна инвариантности относительно $A-\lambda E$ для вообще любого $\lambda$.