Метрики на плоском торе

[demolishka]

Пусть $\|.\|$ --- евклидова норма в $\mathbb{R}^n$ . Рассмотрим плоский $n$-мерный тор $\mathbb{T}^n := \mathbb{R}^n / 2\pi \mathbb{Z}^n$ с метрикой $\rho(x,y) := \max\limits_{x' \in x, y' \in y} \|x'-y'\|$ для $x,y \in \mathbb{T}^n$. Пусть $A_1,\ldots,A_n \in \mathbb{C}$ ($A_j \not= 0, j=1,\ldots,n$) и $\lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{R}$ (можно считать, что $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ --- рационально независимые). Рассмотрим новую метрику на $\mathbb{T}^n$:

$$\rho'(x,y):=\max\limits_{t \in \mathbb{R}} |\sum_{j=1}^{n} A_j e^{i \lambda_j t}(e^{i x'_j} - e^{i y'_j} )|,$$

где $(x'_1,\ldots,x'_n) \in x$, $(y'_1,\ldots,y'_n) \in y$, такие что $x'_j, y'_j \in [0;2\pi)$ для $j=1,\ldots,n$.

Верно ли, что метрика $\rho'$ сильнее метрики $\rho$ (т.е. $\exists C>0 \ : \ C\rho(x,y) \leq \rho'(x,y) \ \forall x,y \in \mathbb{T}^n$) ?

Известно, что метрики $\rho$ и $\rho'$ эквивалентны в смысле задания той же самой топологии и метрика $\rho$ сильнее $\rho'$.

[DeBill]

demolishka
Вместо первого максимума должОн быть минимум?

[demolishka]

DeBill, да, минимум, а вместо второго максимума --- супремум

-- 06.06.2016, 03:11 --

Рассуждая от противного можно получить последовательности $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$, такие что

$$\begin{enumerate} \item 1. \ x^{(k)} \to 0 \text{ и } y^{(k)} \to 0 \text{ в обеих метриках}. \\ \item 2. \ \frac{\rho'(x^{(k)},y^{(k)})}{\rho(x^{(k)},y^{(k)})} < \frac{1}{k} \text{ для } k \geq 1. \item 3. \ \rho(x^{(k)},y^{(k)}) \to 0 \text{ и } \rho'(x^{(k)},y^{(k)}) \to 0. \end{enumerate} $$

Далее можно расписать $\rho'(x^{(k)},y^{(k)})$, используя теорему Лагранжа для соответствующей разности. И теперь надо как-то поиграться с выбором $t$, чтобы получить правильную оценку снизу на супремум модуля.

-- 06.06.2016, 03:49 --

Если обозначить $z_k = \sum\limits_{j=1}^{n} A_j e^{i \lambda_j t}(e^{i x^{(k)}_j} - e^{i y^{(k)}_j} )$ и считать, что $A_j=a_j + i b_j$, то (если я не обсчитался)

$$\operatorname{Re}(z_k) = \sum\limits_{j=1}^{n} [-b_j\cos(\lambda_j t) - a_j \sin(\lambda_j t) ] (x^{(k)}_j - y^{(k)}_j) + o(\rho(x^{(k)},y^{(k)})).$$

$$\operatorname{Im}(z_k) = \sum\limits_{j=1}^{n} [a_j\cos(\lambda_j t) - b_j \sin(\lambda_j t) ] (x^{(k)}_j - y^{(k)}_j) + o(\rho(x^{(k)},y^{(k)})).$$

Ясно, что $\rho'(x^{(k)},y^{(k)}) = \sup\limits_{t \in \mathbb{R}}|z_k|$. Теперь нужно как-то показать, что можно выбрать $t$ так, что величина $\frac{|\operatorname{Re}(z_k)|}{\rho(x^{(k)},y^{(k)})}$ или $\frac{|\operatorname{Im}(z_k)|}{\rho(x^{(k)},y^{(k)})}$ не сможет быть маленькой.

[demolishka]

Еще, чтобы не было лишних проблем, можно считать что под разностью $(x^{(k)}_j - y^{(k)}_j)$ понимается нечто типа знакового расстояния на одномерном торе .

[demolishka]

Можно наложить дополнительные условия на последовательности $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$ (точнее на представителя этого класса, используемого для вычисления $\rho'(x^{(k)},y^{(k)})$):

$$ \begin{enumerate} 4. \ x^{(k)}_j > y^{(k)}_j \text{ для всех } $j = 1, \ldots, n$ \text{ и } $k \geq 1$.\\ 5. |x^{(k)}_j-y^{(k)}_j| \to 0. \end{enumerate} $$

Далее рассмотрим функцию $ g(t) = \sum\limits_{j=1}^{n} [-b_j\cos(\lambda_j t) - a_j \sin(\lambda_j t) ]$. Это невырожденная п.п. функция. В силу рациональной независимости коэффициентов $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ можно выбрать $t$ таким, чтобы знак каждой скобки $[-b_j\cos(\lambda_j t) - a_j \sin(\lambda_j t) ]$ стал положительным. Поэтому существует $C > 0$, такое что величина $\frac{\rho'(x^{(k)},y^{(k)})}{\rho(x^{(k)},y^{(k)})}$ оценивается снизу величиной которая есть $C + o(1)$. Противоречие с условием 2 на выбор последовательностей.

Так что если я ничего не напутал, то ответ на мой вопрос утвердительный .