Квантовая механика - суперпозиция функций

[watmann]

Здравствуйте, вот такой вопрос.
Известно, что если система может пребывать в состояниях $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$,то для неё справедливо и следующее состояние: $\Psi=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}\Psi_{i}$, при этом $\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lvert C_{i}\right\rvert^2=1$.
Это получается операция аналогична разложению вектора по базису?
Как искать эти коэффициенты разложения (которые отвечают за вероятность нахождения в этом состоянии), если мы знаем только $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$, а результирующую функцию - нет? У нас же только одно уравнение - условие нормировки.
Спасибо большое за ответы.

[Alex-Yu]

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Это получается операция аналогична разложению вектора по базису?

Не совсем. Уже хотя бы потому, что базис в пространстве состояний бесконечномерный. Хотя, конечно, смотря какой смысл вкладывать в слово "аналогично".

И еще. "Справедливо состояние" --- это что-то невразумительное. На самом деле возможно состояние. И даже не одно, а бесконечно много, столько сколько коэффициентов, удовлетворяющих условию нормировки, континуум различных сосотояний.

[arseniiv]

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Это получается операция аналогична разложению вектора по базису?

Это просто линейная комбинация. В определении базиса она тоже, конечно, присутствует — но не только она. Состояния $\Psi_1,\ldots,\Psi_n$ не обязаны быть ни линейно независимыми, ни иметь линейной оболочкой всё пространство состояний (а для конечного базиса, как вы знаете, нужно и то, и это — а вообще можно брать и бесконечные линейные комбинации…).

[Munin]

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Это получается операция аналогична разложению вектора по базису?

В чём-то аналогична.

Alex-Yu прав, что в общем случае, пространство состояний бесконечномерное. Но часто рассматриваются какие-то конечномерные его подпространства. Например, допустим, атом может быть на уровнях 1, 2 и 3 (и выше - мы не считаем). Тогда можно рассмотреть и суперпозиции состояний на этих уровнях. Или частица со спином, или молекула аммиака, как у Фейнмана, или что-то ещё.

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Как искать эти коэффициенты разложения (которые отвечают за вероятность нахождения в этом состоянии), если мы знаем только $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$, а результирующую функцию - нет? У нас же только одно уравнение - условие нормировки.

Да никак не искать. Они и могут быть какие угодно - таких состояний суперпозиции может быть много разных.

-- 05.06.2016 21:00:06 --

Условие $\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lvert C_i\right\rvert^2=1$ задаёт в пространстве коэффициентов сферу. (Для каждого коэффициента надо отдельно взять его действительную и мнимую часть.) Вот столько всевозможных состояний суперпозиции и можно выдумать.

[watmann]

Munin в сообщении #1129316 писал(а):

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Это получается операция аналогична разложению вектора по базису?

В чём-то аналогична.

Alex-Yu прав, что в общем случае, пространство состояний бесконечномерное. Но часто рассматриваются какие-то конечномерные его подпространства. Например, допустим, атом может быть на уровнях 1, 2 и 3 (и выше - мы не считаем). Тогда можно рассмотреть и суперпозиции состояний на этих уровнях. Или частица со спином, или молекула аммиака, как у Фейнмана, или что-то ещё.

watmann в сообщении #1129300 писал(а):

Как искать эти коэффициенты разложения (которые отвечают за вероятность нахождения в этом состоянии), если мы знаем только $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$, а результирующую функцию - нет? У нас же только одно уравнение - условие нормировки.

Да никак не искать. Они и могут быть какие угодно - таких состояний суперпозиции может быть много разных.

-- 05.06.2016 21:00:06 --

Условие $\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lvert C_i\right\rvert^2=1$ задаёт в пространстве коэффициентов сферу. (Для каждого коэффициента надо отдельно взять его действительную и мнимую часть.) Вот столько всевозможных состояний суперпозиции и можно выдумать.

Т.е. на самом деле чего-то конкретного определяющего в общем случае эти коэффициенты и соотвественно вероятности состояний нету?

И ещё вопрос: а в суперпозицию функции $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$ входят уже нормированными? или мы их, получается, нормируем заново.

[Munin]

watmann в сообщении #1129344 писал(а):

Т.е. на самом деле чего-то конкретного определяющего в общем случае эти коэффициенты и соотвественно вероятности состояний нету?

В общем случае - нету. В каждом конкретном случае - есть. Ведь состояния не берутся "из ниоткуда". Они возникают каким-то путём. Например, состояние может быть задано условиями опыта. Или состояние может возникнуть постепенно в результате каких-то квантовых процессов. Тогда вот то, что привело к данному состоянию, и задаст эти самые коэффициенты.

Надо понимать, что другой набор коэффициентов - это уже другое состояние. (Кроме случая, когда все коэффициенты отличаются на общий комплексный множитель $e^{i\varphi},$ по модулю равный единице.) То есть, в суперпозиции "умещается" намного больше состояний, чем в те базовые, которые вы перечислили.

watmann в сообщении #1129344 писал(а):

И ещё вопрос: а в суперпозицию функции $\Psi_1,\Psi_2,\dots\Psi_n$ входят уже нормированными? или мы их, получается, нормируем заново.

Уже нормированными.

И ещё. Когда отвечаете на что-то, не надо копировать целиком то сообщение, на которое вы отвечаете. Это "оверквотинг" - избыточное цитирование. Можно:
- удалить из цитаты всё лишнее;
- процитировать несколько коротких фрагментов при помощи кнопки ;
- или вообще ничего не цитировать, а обратиться по имени к тому, кому вы отвечаете, нажав на его имя мышкой.

[Toucan]

watmann, замечание за избыточное цитирование.

Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.