Задачка на неравестна.

[Orkimed]

Никак не получается доказать два неравенства. Прошу помощи.
1.$\left\lvert x-y \right\rvert\geqslant \left\lvert\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \right\rvert
Вот свойства модулей, которые мне известны :
$ 1. $|x|\geqslant0$ \\ 2. $|x|\geqslant x$ \\ 3. $|x+y|\leqslant|x|+|y|$ \\ 4. $|x|=|-x|$ \\ 5. $|x-y|\geqslant|x|-|y|$ \\ 6. $|xy|=|x|\cdot|y|$ \\ 7. $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$ \\ 8. $|x^2|=|x|^2=x^2$ \\ $
Рассмотрел случай, когда $\left\lvert x \right\rvert \geqslant \left\lvert y \right\rvert$ и $\left\lvert x \right\rvert \leqslant\left\lvert y \right\rvert$. Получилось
$\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert $ и $\left\lvert y-x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert) $, но зачем я это сделал я так и не понял. Никак в решение мне это не помогает.


2.$\left\lvert x+x_1+$\dots$+x_n \right\rvert \geqslant \left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert x_1 \right\rvert+\dots+\left\lvert x_n \right\rvert) $ Здесь вообще непонятно куда тыркаться.

[NSKuber]

Orkimed в сообщении #1128915 писал(а):

$\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert $ и $\left\lvert y-x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert) $, но зачем я это сделал я так и не понял. Никак в решение мне это не помогает.

Ещё как помогает, это и есть решение, осталось только это увидеть.
По поводу второго задания - вам помогут свойства 5, 4 и 3 (в таком порядке).

[Mikhail_K]

Orkimed в сообщении #1128915 писал(а):

Никак не получается доказать два неравенства. Прошу помощи.
1.$\left\lvert x-y \right\rvert\geqslant \left\lvert\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert \right\rvert$

Orkimed в сообщении #1128915 писал(а):

Получилось $\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert $ и $\left\lvert y-x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert) $, но зачем я это сделал я так и не понял. Никак в решение мне это не помогает.

А чтобы понять, ответьте на два вопроса:
Как связаны $|x-y|$ и $|y-x|$?
Как $||x|-|y||$ связано с $|x|-|y|$ и с $-(|x|-|y|)$?

[Orkimed]

Mikhail_K
$|x-y|$ и $|y-x|$ равны.
А вот как связаны модуль разности модулей уму не приложу.

-- 04.06.2016, 19:00 --

NSKuber
$\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert$
$\left\lvert y - x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert)$
$-\left\lvert y - x \right\rvert \leqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert$
$\left\lvert x - y \right\rvert \leqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert)$
Итого получилось:
$\left\lvert x - y \right\rvert \leqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert\leqslant\left\lvert x - y \right\rvert $
Но как сюда приткнуть двойной модуль?

[NSKuber]

Orkimed в сообщении #1128934 писал(а):

$\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert$
$\left\lvert y - x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert)$
$-\left\lvert y - x \right\rvert \leqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert$
$\left\lvert x - y \right\rvert \leqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert)$

А теперь поподробнее, как у вас четвёртая строчка получилась? Да и следом:

Orkimed в сообщении #1128934 писал(а):

$\left\lvert x - y \right\rvert \leqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert\leqslant\left\lvert x - y \right\rvert $

Какая-то ерунда, подставьте, например, $x = 1, y=2$ и убедитесь.
Докажите, что из $a \geqslant b$ и $a \geqslant -b$ следует $a \geqslant |b|$. И ваша задача решена.

[Orkimed]

NSKuber
Я там опечатался. Во второй строчке домножил на (-1). А $a \geqslant b$ и $a \geqslant -b$, $a \geqslant |b|$ следует из определения модуля.
По-поводу второго. Как применить свойство 5 ? Там же справа приступает модуль и сумма модулей.

[NSKuber]

Orkimed
Отлично. Теперь-то вы можете вывести из давно доказанного

Orkimed в сообщении #1128915 писал(а):

$\left\lvert x-y \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert $ и $\left\lvert y-x \right\rvert \geqslant -(\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert y \right\rvert) $

требуемое? (если не видите так, там ещё свойство 5 надо применить)
По поводу второго. Ещё там справа есть минус между модулями, а он получается только с помощью пятого свойства. Вы сначала пробуйте что-нибудь сделать, а уж если совсем не получается - спрашивайте.

[Orkimed]

Наконец тоже дошли руки доделать 2 номер, а точнее переписать его сюда
$ \left\lvert {x}+{x_1}+\dots+{x_n} \right\rvert\geqslant \left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert x_1 \right\rvert+\dots+\left\lvert x_n \right\rvert) $
Вынес минус $\left\lvert {x}+{x_1}+\dots+{x_n} \right\rvert\, получил $\left\lvert {x}-({-x_1}-\ldots-{x_n}) \right\rvert.
Затем $\left\lvert {x}-({-x_1}-\ldots-{x_n}) \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert -x_1 \right\rvert)-\ldots-(\left\lvert -x_n \right\rvert)=$
$\left\lvert x \right\rvert - \left\lvert x_1 \right\rvert-\ldots-\left\lvert x_n \right\rvert=\left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert x_1 \right\rvert+\ldots+\left\lvert x_n \right\rvert)\leqslant \left\lvert {x}+{x_1}+\dots+{x_n} \right\rvert$

[NSKuber]

Orkimed в сообщении #1141439 писал(а):

$\left\lvert {x}-({-x_1}-\ldots-{x_n}) \right\rvert \geqslant\left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert -x_1 \right\rvert)-\ldots-(\left\lvert -x_n \right\rvert)$

Ну и из каких же известных на данный момент неравенств это следует? Вы, по сути, сразу применили доказываемое неравенство, а потом просто скобочками и знаками пошевелили.
Я два месяца назад вам подсказал уже, какие свойства и в каком порядке надо применить.

[Orkimed]

NSKuber
Ошибку понял, но никак не удавалось последовать вашему совету. Ваходила какая околесица. В последнем хоть что-то получилось.
Никак не понимаю, как можно применить свойство 5 к изначальному выражению.
Вроде получилось. Два месяца периодически подходил к этому заданию. Ничего адекватного не получалось.
\left\lvert {x}-({-x_1}-\ldots-{x_n})\right\rvert\geqslant \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert {-x_1-\ldots-{x_n}}\right\rvert = \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert -({x_1}+\ldots+{x_n})\right\rvert = \left\lvert x \right\rvert - \left\lvert {x_1}+\ldots+{x_n}\right\rvert\leqslant \left\lvert x \right\rvert - (\left\lvert x_1 \right\rvert+\dots+\left\lvert x_n \right\rvert)

[NSKuber]

Orkimed
Надеюсь, в знаке неравенства в конце вы просто опечатались. Если да - всё верно.

[Orkimed]

NSKuber
Знак перепутал. Большое спасибо за помощь.