Операции с множествами

[bruno-2014]

Координата $y=0$

[Mikhail_K]

bruno-2014 в сообщении #1128557 писал(а):

Координата $y=0$

И где здесь

bruno-2014 в сообщении #1128554 писал(а):

$A$: (3, 6.8), (7, 98), (12, 5);

эта координата?

[bruno-2014]

(3, 0), (7, 0), (12, 0);
(0, 4), (0, 6), (0, 18);
(1.5, 3.6), (5, 8), (13, 4);

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1128532 писал(а):

А вопрос "из каких элементов состоит $\mathbb{R}^n$ вообще осмысленен? Или там скажем фактор $L_2$ по подпространству коразмерности $n$ мы не считаем $\mathbb{R}^n$?

Кстати, а вопрос, из каких элементов состоит $L_2$ Вы считаете осмысленным? Почему-то, если я говорю, что $f$ - элемент $L_2$, я имею в виду функцию, суммируемую с квадратом, а вовсе не последовательность из $l_2$. Т.е., хотя $L_2$ и $l_2$ и изоморфны, но называются они всё-таки по-разному и для каждого из этих пространств имеет смысл вопрос, из каких элементов состоит именно оно.

-- 03.06.2016, 13:53 --

bruno-2014 в сообщении #1128562 писал(а):

$(3, 0), (7, 0), (12, 0) \in A$;
$(0, 4), (0, 6), (0, 18)\in B$;
$(1.5, 3.6), (5, 8), (13, 4)\in C$.

Хорошо. Выше Вы написали, что $B+C=A$; это неверно и сейчас мы узнаем, почему.
Теперь, пользуясь Вашими же примерами элементов $B$ и $C$, напишите несколько примеров элементов множества $B+C$.

[bruno-2014]

(1.5, 7.6), (5, 14), (13, 22)

[Mikhail_K]

Ну да. Причём заметьте, что складывать их можно и "крест-накрест": например, к $(0,6)\in B$ прибавить $(13,4)\in C$ и получить $(13,10)\in B+C$. Другими словами, складывать можно любой элемент из $B$ с любым элементом из $C$, и то что получится, будет элементом $B+C$.

Теперь Вы видите, что $B+C\neq A$, потому что множество $A$ содержит только элементы с нулевой второй координатой и, в отличие от $B+C$, не содержит элементов $(1.5, 7.6), (5, 14), (13, 22), (13,10)$ и многих других.

Теперь вернёмся к примеру Brukvalub:

Brukvalub в сообщении #1128486 писал(а):

Рассмотрите пример $A=\{(x, 0) , x\in \mathbb{R}\}$ и $B=\{(0, y) , y\in \mathbb{R}\}$

Вам нужно доказать, что $A-B$ не существует; то есть, каким бы ни было множество $C$, множество $B+C$ не может совпадать с $A$. Пока что мы это показали только для одного частного случая $C=\{(x, -y),x,y\in\mathbb{R}\}$; но вдруг всё-таки существует какое-то другое множество $C$, для которого $B+C=A$. Нужно доказать, что нет, такого $C$ не существует.

Рассуждайте от противного. Пусть $C$ - искомое множество и $B+C=A$. Множество $C$ непустое (иначе сумма вообще не определена), значит в нём есть хотя бы один элемент. Возьмём произвольный элемент $(c_1,c_2)\in C$. Согласно определению $B+C$, мы можем взять любой элемент из $B$ (а Вы помните, какие там элементы), сложить его с $(c_1,c_2)$ и получим обязательно элемент из $B+C$. Ну вот и поскладывайте $(c_1,c_2)$ с разными элементами из $B$, посмотрите что получится. Если Вы сможете показать, что обязательно будут получаться (в том числе) элементы НЕ из $A$, то дело сделано.

[mihaild]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1128563 писал(а):

Кстати, а вопрос, из каких элементов состоит $L_2$ Вы считаете осмысленным? Почему-то, если я говорю, что $f$ - элемент $L_2$, я имею в виду функцию, суммируемую с квадратом, а вовсе не последовательность из $l_2$. Т.е., хотя $L_2$ и $l_2$ и изоморфны, но называются они всё-таки по-разному и для каждого из этих пространств имеет смысл вопрос, из каких элементов состоит именно оно.

Я его считаю "более осмысленным", чем вопрос "из чего состоит $\mathbb{R}^n$". У $\mathbb{R}^n$ аксиоматическое определение ($n$-мерное пространство над $\mathbb{R}$) гораздо проще, чем у $l_2$ (сепарабельное гильбертово пространство - можно ли как-то проще?). А еще $l_2$ и $L_2$ можно рассматривать как частные случае $l_p$ и $L_p$, которые случайно совпадают при $p = 2$.
Плюс $\mathbb{R}^n$ можно изучать и как векторное пространство, не вводя топологической структуры, а $l_2$ - бессмысленно.
Хотя это в любом случае вопрос слишком похожий на "$\mathbb{R}$ состоит из сечений, классов фундаментальных последовательностей, или классов строк?":)

-- 03.06.2016, 14:24 --

Mikhail_K в сообщении #1128569 писал(а):

Множество $C$ непустое (иначе сумма вообще не определена)

Неправда же. По определению из начального поста, сумма любого множества с пустым - пустое множество.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1128575 писал(а):

Неправда же. По определению из начального поста, сумма любого множества с пустым - пустое множество.

Да, согласен.