Сложное дифференциальное уравнение

[Mathew Rogan]

Подскажите, каким образом можно решить дифференциальное уравнение вида: $ y' = f(x)y^2 + ky^{-2}. $
Даже не знаю, с какой стороны подступиться. Перешерстил самые разные виды уравнений (http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode/ode-toc1.htm), но именно такого не нашёл.

[DeBill]

Mathew Rogan
Мне кажется, никаким...Ну, разве что для конкретного $f$, но и то - сомнительно.

[Mathew Rogan]

В общем-то мне не нужно решение для произвольного $f(x)$, достаточно решить такое:
$ y' = x^n y^2 + ky^{-2}. $

Но упростит ли это задачу...

[DeBill]

Для $n=-\frac{4}{3}$ есть решение $y=cx^{\frac{1}{3}}$. Но толку то...

[Mathew Rogan]

DeBill в сообщении #1128311 писал(а):

Для $n=-\frac{4}{3}$ есть решение $y=cx^{\frac{1}{3}}$. Но толку то...

Это почти то, что мне нужно! Для $n=-\frac{8}{3}$ решения нет?

[DeBill]

Mathew Rogan в сообщении #1128327 писал(а):

Для $n=-\frac{8}{3}$ решения нет?

Точных решений - не вижу. Но, вроде бы, есть решение с асимптотикой типа
$y= x^{\frac{2}{3}}\cdot (c+...)$, в случае отрицательного $k=-c^4$, ... - ряд по целым степеням (вроде бы). Для положительных $k$ - решений, стремящихся к 0, кажется, нет.

[Mathew Rogan]

DeBill в сообщении #1128342 писал(а):

Mathew Rogan в сообщении #1128327 писал(а):

Для $n=-\frac{8}{3}$ решения нет?

Точных решений - не вижу. Но, вроде бы, есть решение с асимптотикой типа
$y= x^{\frac{2}{3}}\cdot (c+...)$, в случае отрицательного $k=-c^4$, ... - ряд по целым степеням (вроде бы). Для положительных $k$ - решений, стремящихся к 0, кажется, нет.

$k$ — отрицательное, всё нормально. Ряд по целым степеням — это что-то вроде такого:
$ c_0 + c_1 x^{-1} + c_2 x^{-2} + c_3 x^{-3} +... $?

[DeBill]

Mathew Rogan в сообщении #1128460 писал(а):

по целым степеням

Нет, по положительным. Как найти: подставляйте в уравнений, и - последовательно - все найдется...