Отношение произведений натуральных чисел

[kisupov]

Есть некоторое положительное целое $n$. Нужно найти отношение произведения всех нечетных целых чисел от $3$ до $(2n+1)$ к произведению всех четных целых чисел от $2$ до $(2n)$, т.е.

$$ x = \frac{3 \cdot 5 \cdots 2n+1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}. $$

Поскольку $n$ может быть весьма большим (несколько десятков тысяч), то использование прямой формулы вызывает затруднение. Может быть есть формулы, позволяющие более эффективно вычислить указанное соотношение?

[DeBill]

kisupov
Выразите Вашу дробь через факториалы.
Примените формулу Стирлинга.

[svv]

kisupov
Для малых $n$ Вы как находите эту дробь? Вычисляете числитель, вычисляете знаменатель и делите?
А Вы не так делайте: возьмите $1$.
Разделите на $2$. Умножьте на $3$.
Разделите на $4$. Умножьте на $5$.
...
Для $n$ порядка десятков тысяч гарантирую отсутствие переполнения и мгновенное вычисление даже на компьютере начала 90-х годов.
Фактически, это реализация рекуррентной формулы, так что, если нужно это вычислить для всех $n$ до какого-то максимального, последовательно для всех и получите.

[INGELRII]

Тогда уж лучше вычислять произведения чисел вида $1+\frac{1}{2n}$. Тут вообще переполниться будет затруднительно, вычисляйте хоть до максимального целого числа, хранимого в памяти компьютера.

[TelmanStud]

Можно наверно отлогарифмировать:

$$x=e^s,$$

где

$$s=\sum\limits_{i=1}^{n}\ln\frac{2i+1}{2i}$$

[Евгений Машеров]

Для десятков тысяч - Стирлинг.

Цитата:

$x = \frac{3 \cdot 5 \cdots 2n+1}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}=\frac {(2n+1)!} {n!^2 2^{2n}}$

Несложные сокращения и формула, которая для этих значений точнее точного вычисления (поскольку нет накопления ошибки).

[Евгений Машеров]

Отклонения расчёта по формуле Стирлинга и прямым счётом существенны лишь при малых n, и становятся меньше 1% уже при $n>37$, а при $n=10000$ относительная ошибка составляет порядка $10^{-5}$ и, возможно, уже связана с накопленной погрешостью при прямом счёте, а не с ошибкой аппроксимации.