Норма композиции отображений

[SCW]

mihaild, не вполне ясно, как в этом случае доказать ограниченность функционала $c(f)$. Буду благодарен, если объясните несколько подробнее.

[mihaild]

SCW, какого функционала? Нигде выше функции $c$ не было.

[SCW]

mihaild, константы $c$, зависящей от выбора функции

[mihaild]

SCW, расписать явно $\|Af\| = \sup\limits_{x \in X} \|Af(x)\|_Y = \sup \|f(\varphi(x))\| = \ldots$.

[SCW]

mihaild, как уже было отмечено выше, $\|Af\|=\sup\|f(\varphi(x))\|=\sup\|f(x)\|=\|f\|$. Отсюда, константа, связывающая нормы, существует и единственна. Значит, она может быть определена как $\|A\|$, а оператор $A$ ограничен.

[mihaild]

SCW, да, так, только в другую сторону. Норма $A$ - это и есть, по определению, эта константа.

[SCW]

mihaild, спасибо за ценные уточнения

[ewert]

SCW в сообщении #1128106 писал(а):

в то время как ограниченность самого$A$ следует из непрерывности отображения.

У меня начинают плодиться нехорошие подозрения. Чем непрерывность отличается от ограниченности?... (раз уж случай линейный)