дифференциальное уравнение с периодической правой частью

[Q_Q]

дано переодическое уравнение $y'=f(x,y)$, где $f(x\pm w,y)=f(x,y)$
$f\in C$ и $f\in C'$ по y. Допустим y=$\varphi$(x) огран. решение при $t\geqslant 0$ доказать, что тогда либо $\varphi$(x) w переодич. решение, либо $\varphi$(x) стремится к w-переодич. решению при $x\to \infty$

[Q_Q]

неужели никто не знает ? (

[Хорхе]

Приблизительно так.
Рассмотрим это уравнение на $[0,w]$ (обозначим его (:))). Оно имеет единственное решение для любого начального условия, причем это решение непрерывно по начальному условию.
Понятно, что не может быть двух решений $y_1,y_2$, таких, что $y_1(0)<y_2(0)$, но $y_1(w)>y_2(w)$ (иначе эти два решения пересекутся в какой-то точке и получим противоречие с единственностью).
Пусть теперь $y_0$ --- решение, о котором идет речь в условии. Из предыдущего абзаца и ограниченности следует, что последовательность $y_0(nw)$ сходится при $n\to\infty$, пусть предел равен $a$. Из непрерывности решения (:)) по начальному условию следует, что решение $y_p$ уравнения (:)) с начальным условием $a$ является $w$-периодическим, более того, решения этого уравнения с начальными условиями $y_0(nw)$ сходятся к $y_p$, что и требовалось доказать.

[Q_Q]

спасибо огромное