Дифференцируемость функционального ряда

[pink Elephant]

Собственно, само задание
Является ли функция $f(x) = \sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + n^2}, x\in\mathbb{R}$ непрерывной и дифференцируемой?
Мое решение на данный момент таково -- так как каждая из функций $f_n(x) = \frac{1}{x^2+n^2}$ равномерно стремится к нулю на бесконечности и каждая $S_n$ частичная сумма ограничена $n$ на всем $\mathbb{R}$, то по признаку Абеля равномерно сходится и сам функциональный ряд, а так как и каждая $f_n$ функция непрерывна, так как $\frac{1}{x}$ непрерывна везде, кроме точки, где знаменатель ноль, а в ноль знаменатель не обращается, то и исходный функциональный ряд непрерывен. Теперь дифференцируемость -- рассмотрим ряд производных $f\prime(x)\frac{2x}{(x^2+n^2)^2}$. Опять же можно числом $n$ ограничить $S_n$ частичную сумму и так же равномерно к нулю стремится.
Только вот я в своем решении не уверен. Можете сказать -- правильно ли решил?

[Dan B-Yallay]

pink Elephant в сообщении #1127727 писал(а):

Является ли функция $f(x) = \sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + y^2}, x\in\mathbb{R}$

$$f(1,1)=\sum\limits_1^{\infty}\frac 1 {1^2+1^2}=1/2+1/2+1/2+1/2+.....=???$$

[pink Elephant]

Dan B-Yallay в сообщении #1127729 писал(а):

pink Elephant в сообщении #1127727 писал(а):

Является ли функция $f(x) = \sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2 + y^2}, x\in\mathbb{R}$

$$f(1,1)=\sum\limits_1^{\infty}\frac 1 {1^2+1^2}=1/2+1/2+1/2+1/2+.....=???$$

Опечатка, там $n$ стоит, а не $y$

[Dan B-Yallay]

pink Elephant в сообщении #1127727 писал(а):

рассмотрим ряд производных $f\prime(x)\frac{2n}{(x^2+n^2)^2}$

Почём производную брали? (c)
По $n$?

[pink Elephant]

Dan B-Yallay в сообщении #1127732 писал(а):

Почём производную брали?

Блин, опечатка на опечатке. По $x$ конечно. Вверху вместо $n$ должен $x$ стоять.

[Dan B-Yallay]

pink Elephant в сообщении #1127727 писал(а):

по признаку Абеля равномерно сходится и сам функциональный ряд

Wikipedia писал(а):

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}$ сходится, если выполнены следующие условия:

a) Последовательность ${\displaystyle \ a_{n}}$ монотонна и ограничена.
b) Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}}$ сходится.

Кто у вас $a_n$ и $b_n$ для ряда и для его производной?

[pink Elephant]

Dan B-Yallay в сообщении #1127735 писал(а):

Кто у вас $a_n$ и $b_n$ для ряда и для его производной?

Да, я тут сделал довольно глупую ошибку. Думал ряд из единиц сделать, а он же расходится. Тогда просто ограничить по Вейерштрассу рядом $\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Когда ряд из производных рассматриваем, то можно вроде им же снова ограничить.

[Dan B-Yallay]

pink Elephant в сообщении #1127736 писал(а):

Когда ряд из производных рассматриваем, то можно вроде им же снова ограничить.

Если знаете, как это сделать (а это не сложно) то у меня вопросов больше не осталось.

[pink Elephant]

Dan B-Yallay в сообщении #1127739 писал(а):

Если знаете, как это сделать

$\frac{2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2x}{n^4+2n^2x^2+x^4}<\frac{2x}{n^4}<\frac{1}{n^2}$ так вроде же?

[mihaild]

pink Elephant в сообщении #1127740 писал(а):

$\frac{2x}{n^4}<\frac{1}{n^2}$

Это неправда. Подставьте $x = n^4$.
(нужно другой член из знаменателя оставлять)

[pink Elephant]

mihaild в сообщении #1127741 писал(а):

pink Elephant в сообщении #1127740 писал(а):

$\frac{2x}{n^4}<\frac{1}{n^2}$

Это неправда. Подставьте $x = n^4$.
(нужно другой член из знаменателя оставлять)

Ах да, у нас же $x$ тоже меняется и стремится к бесконечности. Тогда конечно надо оставить член $2n^2x^2$

[Brukvalub]

pink Elephant в сообщении #1127742 писал(а):

Тогда конечно надо оставить член $2n^2x^2$

А, вдруг, $x$ к $0$ метнется?

[g______d]

pink Elephant в сообщении #1127740 писал(а):

$\frac{2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2x}{n^4+2n^2x^2+x^4}<\frac{2x}{n^4}<\frac{1}{n^2}$ так вроде же?

Да, так, только в последнем неравенстве надо поставить $C$, а второе неравенство нестрогое.

Никакой равномерности на бесконечности не нужно, дифференцируемость -- это локальное условие, и достаточно равномерной сходимости на ограниченных интервалах.

[Dan B-Yallay]

У меня была мысль сделать так:

$$\left |\frac{2x}{(n^2+x^2)^2}\right |=\left | \frac{x}{(x^2+n^2)}\right | \cdot \frac{2}{(x^2+n^2)} \leqslant \frac{2}{(x^2+n^2)} $$

Оценка для последнего у нас уже есть.