Найти первообразную порядка 1/2 от обобщенной функии

[Frank Costello]

Помогите пожалуйста решить задачу!
Необходимо найти первообразную порядка $\frac{1}{2}$ от обобщенной тета-функции Хевисайда.

По определению, производная порядка $\frac{1}{2}$ будет равна $\Theta \ast \psi_{\frac{1}{2}}$,

где $\psi_{\frac{1}{2}}$ полагается равной $\frac{x_{+}^{\frac{1}{2}-1}}{\Gamma(\frac{1}{2})}$, а $\ast$ - свертка обобщенных функций,
где $x_{+}^{\frac{1}{2}-1}$ $=$ $x_{+}^{-\frac{1}{2}}$ равен, по определению, $\int\limits_{0}^{+\infty} \exp({-\frac{1}{2}\ln {x}}) \cdot \varphi(x)dx$.

Далее, мы знаем, что $\Gamma(\frac{1}{2})$ - это гамма-функция Эйлера, и она будет равна $\sqrt{\pi}$.

Введем определение свертки обобщенных функций.
$\left\langle F \ast G , \varphi \right\rangle$ $:=$ $\left\langle F(x), \left\langle G(u),\varphi(u+x)\right\rangle\right\rangle$,

где $\left\langle F_{f}, \varphi\right\rangle$ - действие обобщенной функции $F_{f}$, порожденной функцией $f$, на финитную функцию $\varphi$. Функция называется финитной, если она бесконечно дифференцируема и ее носитель, то бишь множество точек, где функция не обращается в нуль, компактен. $\left\langle F_{f}, \varphi\right\rangle$ $:=$ $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f \cdot \varphi$.

И да, тета-функция Хевисайда выглядит так: $\left\{ \begin{array}{rcl} &\Theta=1 , x>0& \\ &\Theta=0 , x<0& \\ \end{array} \right.$

Итак, вот до какого момента Я дошел:
$\left\langle \Theta \ast \psi_{\frac{1}{2}} , \varphi \right\rangle$ $=$ $\left\langle \Theta(x), \left\langle \psi_{\frac{1}{2}}(u),\varphi(u+x)\right\rangle\right\rangle$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Theta(x)[\int\limits_{0}^{+\infty} \exp({-\frac{1}{2}\ln {u}}) \cdot \varphi(u+x)du]dx$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty} \exp({-\frac{1}{2}\ln {u}})[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Theta(x) \cdot \varphi(u+x)dx]du$. Здесь была использована теорема Фубини.

Все это будет равно $\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty} \exp({-\frac{1}{2}\ln {u}})[\int\limits_{0}^{+\infty} \varphi(u+x)dx]du$, потому что тета-функция действует именно так.

Что делать дальше, без понятия, но Я знаю ответ:$\frac{2}{\sqrt{\pi}} x_{+}^{\frac{1}{2}}$.
Видимо они как-то круто избавились от связной переменной х.

Буду очень благодарен за помощь!

[Vince Diesel]

Если забыть про обобщенные функции, то

$$\Theta \ast \psi_{\frac{1}{2}}(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^xy^{-1/2}\Theta(y)\,dy=\frac{\Theta(x)}{\sqrt{\pi}}\int_0^xy^{-1/2}\,dy=\frac{2x^{1/2}}{\sqrt{\pi}} \Theta(x). $$

[DeBill]

Frank Costello в сообщении #1127536 писал(а):

Что делать дальше,

Во внутреннем интеграле сделать замену $u+x=t$.
Поменять порядок интегрирования. Сосчитать внутренний интеграл.

[Red_Herring]

Проще: что такое свёртка с функцией Хевисайда? Интеграл. Поэтому надо взять интеграл от $\psi_{1/2}$

[Frank Costello]

Цитата:

Поменять порядок интегрирования.

Поменял. Внутренний интеграл получился такой: $\int\limits_{0}^{+\infty} \exp(-\frac{1}{2} \ln(u))du$. Такой интеграл, кажется, расходится. Но если заменить верхний предел с бесконечности на переменную внешнего интеграла, выходит правильный ответ. Как обосновать замену верхнего предела интегрирования?

[DeBill]

Frank Costello в сообщении #1127640 писал(а):

такой:

Нет: верхний предел не такой. Вспомните как расставлять пределы в двойном интеграле ...

[Frank Costello]

$\int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\frac{1}{2}\ln(u))\int\limits_{0}^{+\infty}\varphi(u+x) = [u+x=t; dx=dt] = \int\limits_{0}^{+\infty}\exp(-\frac{1}{2}\ln(u))\int\limits_{u}^{+\infty}\varphi(t)dtdu$.

В силу того, что $t>u$, при замене порядка интегрирования, имеем:

$\int\limits_{0}^{+\infty}\varphi(t)\int\limits_{0}^{t}\exp(-\frac{1}{2}\ln(u))dudt$

.

При интегрировании по $t$ внутри, мы интегрировали от $u$ до плюс бесконечности, когда же мы поменяли порядок интегрирования, наша переменная $u$, в силу $t>u$, будет пробегать от нуля до $t$.
Правильные ли у меня рассуждения?