Как лучше найти наставника по серьезной математике?

[dsge]

(Оффтоп)

SPbPS в сообщении #1128130 писал(а):

то скорее всего это должен быть человек, который получил высшее образование по направлению 01.03.01. Математика (старый код: 010100.62), например http://math.sfu-kras.ru/edu/specialities/010100_62
.

Мне особенно понравилось это:

Цитата:

имеет научное представление о здоровом образе жизни, владеет умениями и навыками физического самосовершенствования;

[SPbPS]

Kephe в сообщении #1128139 писал(а):

В общем, если Вам не нужен их диплом (ценность которого тоже непонята), м.б. лучше смотреть в сторону репетиторов из числа преподавателей российских вузов.

Ну я об этом вначале и подумал.
Спасибо за справку про University of London.

[Munin]

Ну что ж. Давайте разгребать кашу. Очень надеюсь, что подключатся математики этого форума - я во многом недостаточно компетентен говорить серьёзно.

1.

SPbPS в сообщении #1128044 писал(а):

Если по простому -- это фундаментальные предметы для современной математики.

Для начала, надо отличать "Мат. анализ" и "Алгебру" как учебные предметы, и как разделы математики.

Как разделы математики - да, они фундаментальные. Но всю математику далеко не охватывают. Впрочем, математика состоит из разделов, довольно тесно взаимосвязанных, и плавно перетекающих один в другой, так что мат. анализ и алгебра - образуют что-то вроде "ядер" с размытой и очень большой периферией (в том числе, и перекрывающейся для этих двух "ядер"). Если брать "ядра" по минимуму, то они охватывают не такую уж большую часть математики (считанные проценты, ну десяток-полтора процентов), если со всей периферией по максимуму - может быть, до одной - двух третей математики.

Как учебные курсы - это очень небольшой кусок математики. Те же считанные проценты, или даже ещё меньше.

SPbPS в сообщении #1128044 писал(а):

Разделов достаточно много, судя по оглавлению учебной литературы

Вот судить по оглавлению учебной литературы - большая ошибка. Учебная литература охватывает то, что дают студентам. Причём часто начальная часть предмета даётся под одним названием, а его продвинутые части и ответвления - под другими названиями. В разных вузах дают разные части предмета, так что большинство учебной литературы сосредоточено на элементарных разделах, которые даются везде. Дальше учебная литература плавно переходит в монографии, в том числе специальные и исследовательские (с оригинальными результатами). Такие можно давать не только студентам, но и аспирантам и специалистам. И наконец, на дальнем конце спектра - обзорные и исследовательские работы: статьи и другие виды публикаций (сборники статей, препринты, тезисы и доклады, диссертации).

Как-то охватить весь предмет одним взором довольно трудно. Можно обладать большой эрудицией, накопленной за много лет изучения, а то и собственной работы. А можно собирать сведения по справочным материалам, причём и тут - нельзя судить по одному чему-то. Например:
- Математическая Энциклопедия (правда, она, увы, подустарела: 1970-е годы), иные энциклопедии;
- классификаторы, например, arXiv, AMS, Колхоза, УДК - правда, они тоже устаревают и часто неравномерны;
- Википедия ([1], [2]), иные аналогичные ресурсы;
- разные другие сайты, например, http://web.archive.org/web/*/http://www.math-atlas.org/ [1] [2], http://meta.math.stackexchange.com/questions/6479/a-graph-map-of-math-se

В итоге:
- ваше перечисление направлений (тут уже не точно будет сказать - разделов) алгебры - более-менее похоже на правду;
- а вот ваше представление об анализе сильно хромает, в сторону самых начальных учебных курсов.

SPbPS в сообщении #1128044 писал(а):

Какие разделы наиболее актуальные и в каких ведутся научные исследования -- i don't know. Скорее всего об этом лучше знают квалифицированные математики.

Хотя вот, рабочие программы аспирантуры Математического института им. В. А. Стеклова РАН по направлениям

Вы можете хотя бы примерно сопоставить одни списки с другими? Подразумевая, что в первых вы перечисляете "ветви", а во вторых - "листья".

SPbPS в сообщении #1128044 писал(а):

Что конкретно выбрать, сейчас мне сложно сказать.

Из этого - пока ничего. Я не сказал, где бы вы хотели работать. Я спросил, что бы вы хотели изучить до современного уровня - а это ещё не значит "до уровня работы".

SPbPS в сообщении #1128044 писал(а):

Вы действительно убеждены, что человеку с высшим инженерным образованием нужно проходить школьный курс за 7-10 классы, чтобы читать учебники для высшей школы?

Ну, если человек с высшим инженерным - уже спотыкается в школьном материале, то его хорошо бы освежить. Ведь если этого не сделать, вы будете с большим (с бо́льшим и с больши́м) трудом продвигаться там, где типичный студент идёт быстро. А то и завязнете намертво.

[Munin]

SPbPS
Я тут вспомнил, как вам задавали вопросы по школьной математике, и мне пришло в голову задать вам несколько вопросов по первым курсам вуза. У меня как раз оказались под рукой:

Анализ:
1. $\lim\limits_{x\to 0}(e^x\,x\,\sin x\,\ln x^2)'=?$ В нуле $e^x\,x\,\sin x\,\ln x^2\sim x^a,\quad a=?$
2. $y=\dfrac{|x-5|^3-7}{-x^2+6x-5}.$ Описать словесно график.
3. $f(x)=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x-1})^2}+\dfrac{1}{(\sqrt[3]{x+1})^2}$ Найти общий вид $F(x),$ где $F(x)$ такая что $F'(x)=f(x).$
4. Разложить на множители $z^3-i.$
5. Найти объём тора. (Не пользоваться справочной формулой.)
6. $\operatorname{cth}\operatorname{arsh}x=?$
7. Найти стационарные точки и их типы: $f(x,y)=x^2+2y^2+3xy+4x+5y.$
8. Найти для предыдущей $f(x,y)$ производную в точке $(3,-2)$ по направлению $(\cos\tfrac{\pi}{3},\sin\tfrac{\pi}{3}).$
9. $f(x)=e^x\sin x.$ Найти первые три члена ряда Тейлора в точке $x=\tfrac{\pi}{2}.$
10. $\operatorname{div}(r^{3/5}\mathbf{r})=?$
11. Перечислите все разновидности обобщённой теоремы Стокса в 1, 2, 3 и 4 измерениях.
12. $\int_{-1}^{+1}\tfrac{dx}{\sqrt{|x|}}=?$
13. $p(x)=\theta(x)+\bigl(1-\theta(1-x)\bigr).\quad p*p*p=?$
14. Для графика в полярных координатах $r=\cos 3\varphi+1$ найти кривизну в точке $\varphi=0.$ Если точка движется по этой линии с $d\varphi/dt=1,$ найти её нормальное и касательное ускорение в этой точке.

Аналитическая геометрия:
1. Записать плоскость $Ax+By+Cz+D=0$ в цилиндрических координатах.
2. Записать проекцию вектора $\mathbf{a}$ на направление вектора $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$: (а) с использованием только скалярного произведения, (б) с использованием только векторного произведения (в 3-мерном пространстве) и взятия модуля.
3. Декартовая система координат на плоскости привязана к катетам прямоугольного $\triangle ABC.$ Записать переход к другой декартовой с.к., привязанной к его гипотенузе и одной из вершин.
4. Найти общую касательную к двум окружностям $(x_1,y_1,r_1)$ и $(x_2,y_2,r_2).$
5. Найти расстояние между прямыми $\dfrac{x-x_1}{a_1}=\dfrac{y-y_1}{b_1}=\dfrac{z-z_1}{c_1}$ и $\dfrac{x-x_2}{a_2}=\dfrac{y-y_2}{b_2}=\dfrac{z-z_2}{c_2}.$
6. $\mathbf{[[[ri]j]k]}=?\qquad\mathbf{[[[[[ri]r]j]r]k]}=?$
7. (На плоскости) Записать общее уравнение прямой, каноническое уравнение прямой, канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы (произвольно расположенных) в векторном виде, используя только $\mathbf{r},$ но не $x,y.$

Линейная алгебра:
1. Вычислить
$\begin{pmatrix}7&8&4\\-3&5&2\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1&0&3\\-1&-2&1\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}3&1&-2\\1&2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&1\\0&2\end{pmatrix},$
$\begin{pmatrix}-8&-7&-6\\2&5&-4\\-5&-7&-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-9&-1\\4&-1\\4&-4\end{pmatrix},\qquad\begin{pmatrix}8&0&0\\0&8&0\\0&0&8\end{pmatrix}:\begin{pmatrix}-4&1&5\\8&5&-9\\-2&5&5\end{pmatrix}$
2. $\begin{vmatrix}1&a&-9\\2b&-8&-2\\-9&-c&-d\end{vmatrix}$
3. Ортогонализовать базис $(-2,0,7),\quad(9,7,5),\quad(0,4,3).$
4. Найти собственные векторы и значения $\begin{pmatrix}-5&7\\2&-6\end{pmatrix}.$
5. Привести к каноническому виду квардратичную форму $\begin{pmatrix}-1&5\\5&-2\end{pmatrix}.$
Ниже пространство 3-мерное.
6. $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ - произвольные вектора. $\operatorname{tr}(\mathbf{a}\otimes\mathbf{a}+\mathbf{b}\otimes\mathbf{b}+\mathbf{c}\otimes\mathbf{c})=?$
7. $a_i,b_i,c_i$ - произвольные вектора, система координат декартова. Написать все компоненты $a_i\delta_j^k+b_j\delta_i^k+c^k g_{ij}.$
8. $a,b,c$ - произвольные 1-формы, система координат декартова. Написать все компоненты $a\wedge b+b\wedge c+c\wedge a.$

Справочными материалами (в том числе и прочитанным когда-то учебником, для вспоминания) пользоваться можно. Пытаться что-то выучить или изучить с нуля сразу - не стоит. Цель - не сделать всё, а выяснить границу между уверенным знанием, и незнанием (≈ смутным и полузабытым знанием).

-- 02.06.2016 14:37:39 --

P. S. Всем другим читателям темы: просьба не решать задачи, и вообще оставить свои комментарии при себе (или присылать в ЛС). Вопросы заданы конкретно SPbPS. А то в прошлый раз ещё аж 4 человека кинулись считать или комментировать.

-- 02.06.2016 14:42:27 --

P. P. S. Задачи были написаны "по математике для физики", поэтому они все расчётные, а не на доказательство.

[Munin]

Ну вот. И пропал.

[GAA]

Тут был чудовищно банальный комментарий к примеру 1 (Анализ). В надежде на то, что пример Munin отредактирует, этот комментарий я удалил.

[Padawan]

Munin в сообщении #1128240 писал(а):

6. $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ - произвольные вектора. $\operatorname{tr}(\mathbf{a}\otimes\mathbf{a}+\mathbf{b}\otimes\mathbf{b}+\mathbf{c}\otimes\mathbf{c})=?$

Что подразумевается под $\operatorname{tr}$? По-моему, это след оператора, т.е. тензора типа $(1,1)$. А тут?
Вообще, задачи хорошие. На грани между задачами на понимание и задачами на вычисление. Я такие люблю. В задачнике Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1-3. таких много.