Рефлексивность конечномерного

[2serg2]

Добрый день,
столкнулся с затруднением, пытаясь доказать рефлексивность конечномерного линейного нормированного пространства.

Понятно, что $\text{dim}X = \text{dim}X^* = \text{dim}X^{**}$

Теперь нужно показать, что $\text{Im}F = X^{**}, (Fx)(f) = f(x)$

Как это можно сделать?

[alcoholist]

2serg2 в сообщении #1127164 писал(а):

Как это можно сделать?

Этот изоморфизм канонический. Постройте руками.

[ewert]

2serg2 в сообщении #1127164 писал(а):

Теперь нужно показать, что $\text{Im}F = X^{**}, (Fx)(f) = f(x)$

Какой-то птичий язык. Разве недостаточно того, что уже первое сопряжённое откровенно изоморфно исходному?

[mihaild]

ewert, а в чем проблема с языком? $F$ - линейный оператор, их часто применяют к аргументу без скобок.

ewert в сообщении #1127321 писал(а):

недостаточно того, первое сопряжённое откровенно изоморфно исходному?

Во-первых, не обязательно изоморфно. Например, $l_p(\mathbb{R}^2)$ и $l_p^*(\mathbb{R}^2)$ неизоморфны при $p \notin \{1, 2, \infty\}$.
Во-вторых, даже если изоморфизма достаточно, то это, кажется, неочевидно.

[ewert]

mihaild в сообщении #1127348 писал(а):

Во-первых, не обязательно изоморфно

Во-вторых, речь шла о конечномерных пространствах. Если мне не отшибает память.

[mihaild]

ewert в сообщении #1127349 писал(а):

речь шла о конечномерных пространствах

$l_p(\mathbb{R}^2)$ (которое пары чисел с нормой $\|(a, b)\|_p = \sqrt[p]{|a|^p + |b|^p}$) - конечномерно, и неизоморфно своему сопряженному.

[ewert]

Ну, $l_p(\mathbb{R}^2)$ -- не более чем издевательство в обозначениях. Учитывая эквивалентность всех норм. Почему я этого издевательства и не заметил -- даже и не обратил на него внимания.

[mihaild]

ewert в сообщении #1127353 писал(а):

Учитывая эквивалентность всех норм

В смысле топологии, но не в смысле нормы - двумерные $l_p$ и $l_q$ неизоморфны как нормированные пространства. А нам нужна изометрия.

[ewert]

mihaild в сообщении #1127354 писал(а):

двумерные $l_p$ и $l_q$ неизоморфны как нормированные пространства.

А это не имеет значения. Установить-то изоморфизм можно?... -- ну и аллилуйя.

[mihaild]

ewert, получим, что $X$ изоморфно $X^{**}$, как топологическое пространство. Не представляю, как это можно использовать для доказательства рефлексивности (кроме как выведя из этого, что совпадают размерности, но этим мы всё равно пользовались говоря об изоморфизме топологических пространств).

[ewert]

mihaild, я просто считаю сам вопрос абсолютно праздным. Рефлексивность не требует какой-то конкретной биекции. Она требует лишь совпадения самих пространств на входе и на выходе.

[mihaild]

ewert, кажется, конфликт определений.

Канторович в Функциональный Анализ, стр. 236 писал(а):

$B$-пространство $X$ называется рефлексивным, если $\pi(X) = X^{**}$, т.е. $X$ изометрично $X^{**}$ при каноническом вложении $\pi$.

(жирный шрифт мой - mihaild).

edit: я не умею писать формулы с 1го раза без опечаток