Обобщенные функции

[Dauletfromast1996]

Есть задачка:$\langle F_{k},\varphi \rangle =\mathrm{v.p.}\int \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^{2}}\sin kx\,dx$. Сходится ли $F_{k}$ к чему-нибудь в ${ D}'$?

Я решал следующим образом: $\langle F_{k},\varphi \rangle =$

$=\mathrm{v.p.}\int \frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^{2}}\sin kx \, dx=|kx=y|=\langle F_{k},\varphi \rangle =$

$=\mathrm{v.p.} \int k^{2}\frac{\varphi(\frac{y}{k})-\varphi(0)}{y^{2}}\sin y\, d(\frac{y}{k})=\mathrm{v.p.}\int k\frac{\varphi(\frac{y}{k})-\varphi(0)}{y^{2}}\sin y \, dy$

$=\mathrm{v.p.} \int \frac{1}{y}\frac{\varphi(\frac{y}{k})-\varphi(0)}{\frac{y}{k}}\sin y \, dy\overset{k\rightarrow \infty }{\rightarrow}= \mathrm{v.p.}\int \frac{1}{y}\ \varphi'(0)\sin y \, dy$

$=\varphi'(0)\mathrm{v.p.}\int\frac{\sin y}{y}dy=\pi \ast \varphi'(0)\Rightarrow \lim_{n \to \infty }F_{k}=-\pi\delta' _{0}(x)$.

Один вопрос, почему из того, что $\frac{\varphi(\frac{y}{k})-\varphi(0)}{\frac{y}{k}} \overset{k\rightarrow \infty }{\rightarrow} \varphi '(0)$ следует сходимость интегралов?

Lia: Просьба внимательнее относиться к коду. На первый раз правка внесена мной, код можно увидеть при цитировании и при наведении мыши на формулу.

[Vince Diesel]

Формула Маклорена в помощь.

[Dauletfromast1996]

<F_{k},\varphi> = v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x^{2}}sinkxdx=v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(0)+{\varphi(0)}'x+\frac{{\varphi(0)}''x^2}{2}-\varphi(0)}{x^{2}}sinkxdx={\varphi(0)}'v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinkx}{x}dx+\frac{{\varphi(0)}''}{2}v.p.\int_{-\infty}^{\infty}sinkxdx={\varphi(0)}'v.p.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinkx}{x}dx={\varphi(0)}'\pi
Так правильно?

[DeBill]

Dauletfromast1996 в сообщении #1127053 писал(а):

Один вопрос, почему из того, что $\frac{\varphi(\frac{y}{k})-\varphi(0)}{\frac{y}{k}} \overset{k\rightarrow \infty }{\rightarrow} \varphi '(0)$ следует сходимость интегралов?

Можно так: для конкретной $\varphi$, интеграл по прямой можно заменить интегралом по $[-R,R]$. Тогда $v.p.$ можно убрать, и предельный переход делать по теоремам о равномерной сходимости...