Несепарабельность L_{\infty}

[2serg2]

Дорый день,
хотелось бы уточнить следующий вопрос:
Как показать несепарабельность пространства $\mathbb{L}_{\infty} (E)$, где $E$ - множество ненулевой меры.

Для всякого приличного множества у меня это сделать получилось - тут легко указать несчетное число хар. функций, расстояние между которыми по соответствующей норме больше 1. Но как это сделать для произвольного, то есть как показать, что найдется столько хар.функций?

[mihaild]

Никак. Возьмите $E = \{0\}, \nu(E) = 1$. Нужны какие-то ограничения на меру.

[2serg2]

mihaild в сообщении #1127005 писал(а):

Никак. Возьмите $E = \{0\}, \nu(E) = 1$. Нужны какие-то ограничения на меру.

Мера Лебега имеется в виду

[mihaild]

2serg2
Тогда вам просто нужно показать, что можно из $E$ выделить счетное множество попарно непересекающихся подмножеств ненулевой меры. Попробуйте воспользоваться тем, что $\nu([0; x) \cap E)$ - непрерывная функция от $x$.

[2serg2]

mihaild в сообщении #1127019 писал(а):

2serg2
Тогда вам просто нужно показать, что можно из $E$ выделить счетное множество попарно непересекающихся подмножеств ненулевой меры. Попробуйте воспользоваться тем, что $\nu([0; x) \cap E)$ - непрерывная функция от $x$.

Множество нужно несчетное, так ведь но это и не важно: я так понимаю, что нужно cделать следующим образом:

$\varphi(x) = \nu([0;x) \cap E) $

$ \exists x_1, x_2: \varphi(x) > 0 \ \forall x \in [x_1, x_2], \varphi(x_1) = \alpha_1 < \varphi(x_2) = \alpha_2 $, причем функция $\varphi$ будет строго монотонна на этом отрезке

Тогда получается, что отрезок $[x_1;x_2] \in E$

Ну а на этом отрезке можно сделать то же, что и на $[0;1]$

[mihaild]

2serg2 в сообщении #1127039 писал(а):

Множество нужно несчетное

Множество непересекающихся подмножеств - счетное (выбрать несчетное семейство попарно непересекающихся множеств положительной меры на прямой у вас не получится). Из такого множества уже можно делать несчетное семейство функций.

2serg2 в сообщении #1127039 писал(а):

отрезок $[x_1;x_2] \in E$

Это неправда - не всякое множество положительной меры целиком содержит отрезок (кроме точечного).

[2serg2]

Да, действительно...

а как тогда можно поступить? мне кажется, нужно как-то использовать теорему о промежуточных значениях:

пусть $\nu(E) = 1$, тогда взять такие множества: $\delta_1 = ([0;x_{1/2}) \cap E), \nu(x_{1/2}) = 1/2, \ \delta_2 = ([0;x_{3/4}) \cap E)/ \delta_1 ... $ (каждый раз вычитать все предыдущие.) Тогда получится счетное число множеств ненулевой меры, которые не пересекаются. А вот на них уже можно построить несчетное число функций, далеких друг от друга по норме

[mihaild]

Да, так. Только надо показать, что такие $x_\alpha$ действительно существуют (и небольшая техническая тонкость - с нуля начинать в общем случае не получится).

[2serg2]

mihaild в сообщении #1127059 писал(а):

Да, так. Только надо показать, что такие $x_\alpha$ действительно существуют (и небольшая техническая тонкость - с нуля начинать в общем случае не получится).

А это не следует из непрерывности функции $\varphi(x)$? тогда она непрерывна и на некотором компакте, можно применить теорему о промежуточном значении.

А в чем проблема с нулем? Если множество лежит слева, то можно пойти налево. Вообще, можно ведь рассмотреть функцию $\varphi(x) = \nu((-x;x) \cap E)$?

Ну и в случае $\mathbb{R}^n$ принципиально ничего не поменяется, нужно лишь заменить функцию $\varphi(x)$

[mihaild]

2serg2, да, следует. Собственно непрерывность и нужно доказать (хотя и она почти очевидна).

[2serg2]

mihaild в сообщении #1127066 писал(а):

2serg2, да, следует. Собственно непрерывность и нужно доказать (хотя и она почти очевидна).

Спасибо большое. Непрерывность я могу доказать)