Осторожно, полиция!

[ProPupil]

Нашёл всё-таки интересную задачку.

Докажите, что для каждого натурального $n$ и для каждого $\varepsilon > 0$ найдутся такие функции $f_{n1}(x), f_{n2}(x),\dots,f_{nn}(x)$, непрерывные на отрезке $[0,1]$ и такие, что

$$|\vec \xi| \leq \max\limits_{0 \leq x \leq 1} \sum\limits_{k=1}^n \xi_k f_{nk}(x) \leq (1+\varepsilon)|\vec \xi|$$

для любого вектора $\vec \xi \in \mathbb R^n.$

[g______d]

Если я правильно понял условие, то оно означает "докажите, что существует непрерывная кривая на единичной сфере, такая что ее точки образуют $\varepsilon$-сеть на этой сфере".

[12d3]

g______d в сообщении #1126553 писал(а):

Если я правильно понял условие, то оно означает "докажите, что существует непрерывная кривая на единичной сфере, такая что ее точки образуют $\varepsilon$-сеть на этой сфере".

В принципе, необязательно кривую именно на сферу укладывать. Можно сделать так: рассмотрим решетку с достаточно малым шагом( вроде, шага в $\frac{\varepsilon}{2}$ хватит, надо уточнить), и все точки, попадающие внутрь шара радиусом $1+{\varepsilon}$, соединим ломаной.

[alcoholist]

g______d
вроде, нет
выражение описывающее существование такой кривой :

$$1-\frac{\varepsilon^2}{2}\le \max (\xi,f)\le 1,$$

где $|\xi|=|f|=1$
а в предложенном условии совсем не то

[g______d]

Да, лучше не так. Просто возьмём кривую, полностью заполняющую единичную сферу, получим сразу для всех $\varepsilon$ :)