Предельный переход

[Grand.Master]

Предположим есть функция

$$f(x,a)=\int\limits_{0}^{x}G(t/a) dt$$

Причем функция $G(t/a)$ бесконечно дифференцируема, убывающая, в нуле определена.

Хочу посчитать предел

$$\lim\limits_{a \to \infty}^{}f(x,a)$$

Возможно ли такое равенство?

$$\lim\limits_{a \to \infty}^{}f(x,a)=\int\limits_{0}^{x}\lim\limits_{a \to \infty}^{}G(t/a) dt=\int\limits_{0}^{x} G(0)dt$$

[Dan B-Yallay]

Есть же теоремы на тему когда можно заносить предел под интеграл. Вы не походили?

[Grand.Master]

Если я не ошибаюсь, то предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла.

[Dan B-Yallay]

Ну если уверены - об чём тогда вопрос? А если не уверены, то что мешает открыть книгу и развеять сомнения?

[Grand.Master]

Да, все разобрался. спасибо большое!

[Grand.Master]

Нет, не совсем разобрался.
Оказывается, чтобы возможен был предельный переход, нужно, чтобы семейство функций стремились к предельной функции равномерно.

Не совсем представляю, как доказать равномерную сходимость в данном случае..

[ex-math]

По определению. Запишите его для Вашего случая. И воспользуйтесь, например, теоремой Лагранжа.

[Grand.Master]

$$\lim\limits_{a \to \infty}^{} \sup|\int\limits_{0}^{x}G(t/a) dt-kx|$$

Не понимаю, честно говоря, как тут теорему Лагранжа применить...

[ex-math]

Для начала: какая функция должна равномерно сходиться к какой функции и на каком промежутке?

[Grand.Master]

ex-math

Функция $f(x,a)$ к прямой $kx,G(0)=k$
на $(0,+\infty)$

[ex-math]

Вы же должны были посмотреть теорему о предельном переходе под знаком интеграла, нет?
Ладно, ну их, эти теоремы. Лучше докажем все сами.
Нам надо показать, что с ростом $a$ стремится к нулю такая величина:

$$ \left|\int_0^xG\left(\frac ta\right)dt-\int_0^xG(0)dt\right|=\left|\int_0^x\left(G\left(\frac ta\right)dt-G(0)\right)dt\right|\leqslant\int_0^x\left|G\left(\frac ta\right)-G(0)\right|dt\leqslant\dots $$

Продолжите, используя теорему Лагранжа.

-- 27.05.2016, 15:07 --

Можно и без теоремы Лагранжа. Раз у Вас функция $G(t)$ убывает, раскройте модуль с нужным знаком и замените максимальным значением.

[Grand.Master]

ex-math
а потом..

$$\leqslant \int_0^x G(0)-G\left(\frac ta\right)dt\leqslant \int_0^\infty G(0)-G\left(\frac ta\right)dt$$

верно?
а дальше при $a$ стремящемся к бесконечности все стремится к нулю.

[alcoholist]

Перепишем

$$\lim\limits_{a \to \infty}^{}f(x,a)=x\lim\limits_{A \to 0}^{}\frac{1}{A}\int\limits_{0}^{A}G(u) du $$

И воспользуемся на выбор
правилом Лопиталя/теоремой о среднем

$$x\lim\limits_{A \to 0}^{}\frac{1}{A}\int\limits_{0}^{A}G(u) du=xG(0)$$

-- Пт май 27, 2016 17:54:48 --

от функции $G$ требуется только интегрируемость в некоторой окрестности нуля и непрерывность в нуле

[Grand.Master]

alcoholist

откуда взялась первая строчка? не совсем очевидно...

[Lia]

Grand.Master
имейте совесть. Вам практически полное решение положили. Еще не хватало, чтобы было очевидно.