Непрерывность функционала

[Stasya7]

Функционалы $f_n (x) = \sum\limits_{k = n+1}^\infty{\frac {x_k}{k}}, n = 1,2,...$ являются же разрывными в $l_\infty$, ну например, в точке $x = (1,1,...)$??

[Mikhail_K]

В этой точке $f_n(x)$ не определены.
В частности, это значит, что функционалы $f_n$ точно не являются непрерывными на всём $l_\infty$, потому что на всём пространстве они просто не заданы.

Но можно проверить разрывность и в более сильном смысле: найти последовательность $\{x^{l}\}\subset l_\infty$ такую, что $x^{l}\to 0$ в $l_\infty$, и вместе с тем $f(x^{l})$ существуют, но не стремятся к нулю.
Для Ваших функционалов такую последовательность несложно придумать.

[Stasya7]

Mikhail_K
На самом деле, у меня (согласно моей задаче) стоит вопрос о проверке сходимости этих функционалов (*-слабая и сильная) в $l_\infty$.
Я правильно понимаю, что для этих функционалов вопрос о сходимости в заданном пространстве вообще не может поднимается, так как они вообще не принадлежат $(l_\infty)^*$?

[mihaild]

Stasya7, стандартно - да. Можно попытаться как-то доопределить понятие сходимости (т.к. попарные разности этих функционалов можно разумным образом определить на всём $l_\infty$).

[Mikhail_K]

Stasya7 в сообщении #1126404 писал(а):

Я правильно понимаю, что для этих функционалов вопрос о сходимости в заданном пространстве вообще не может поднимается, так как они вообще не принадлежат $(l_\infty)^*$?

Да. Если в учебнике / задачнике / курсе, откуда взята эта задача, специально не оговаривается, как понимать такую сходимость для функционалов не из $(l_\infty)^*$, то самим стараться это придумать явно излишне.