Построение функционала энергии для трехфазовой системы

[chipanddail]

Добрый день.

Есть система: жидкость в тонкой трубке (жидкость-тв тело-газ)
я пытаюсь описать условие равновесия данной жидкости и найти минимальную поверхность.
Для нахождения минимальной поверхности буду искать экстремум функционала энергии. (так как система стремится занять положение с минимальной энергией)

для простейшего трехмерного случая, когда сосуд цилиндрический, функционал энергии получается следующий

$$E=\sigma \iint_{S}dS+\iint_{D}\frac{\rho g z^2}{2}dD+\sigma_1\int_{\Gamma}zd\Gamma$$

где $S$ - поверхность жидкости (мениска), $D$ - ее проекция на $xOy$, $\Gamma$ - контур, по которому поверхность $S$ соприкасается с поверхностью стенок сосуда
$z$ - уравнение искомой поверхности
($\rho$, $g$, $\sigma_1$, $\sigma$ - плотность ж., ускорение св. падения, удельная энергия вз-я мол ж. и тв. тела, удельная пов-я своб. энергия соотвественно)

Если убрать вклад силы тяжести, то функционал подойдет для описания сосуда любой формы, но проблема как раз и заключается в понимании того, как учесть силу тяжести для кривого сосуда.

Может сначала стоит рассмотреть поверхность вращения.
Но мыслей на эту тему пока нет.
Хочется получить наводящие вопросы и направляющие векторы для нахождения решения задачи. Любая помощь приветствуется :)

-- 26.05.2016, 02:20 --

Поясню момент:
во втором слагаемом для цилиндра за высоту берется высота центра тяжести элементарного столбика, далее получаем выражение для энергии столба $ dE_2=\frac{g\cdot h\cdot dm}{2}$, где $dm = dV \rho = h \cdot dD \cdot \rho$
$h$ переписываем в виде $z(x, y)$ и получаем
$dE_2=\frac{\rho g z^2}{2} $

[svv]

$\rho g\iiint\limits_{V}z\;dV$

[chipanddail]

Печаль :(

Сама не догадалась. А нужно было всего лишь остановиться на шаг раньше и не выдумывать ничего для поиска объема, а взять его влоб, как $\iiint_{V} dxdydz$

Если все правильно поняла
Спасибо!

[svv]

Знаете, я этот интеграл писал почти в шутку, хоть он и правильный. Думал, Вы скажете «да это-то понятно, а вот как его через поверхностный выразить?»