Пару вопросов по планиметрии.

[mr.tumkan2015]

1) Необходимое о достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Следствия.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
В одну сторону доказывается через дуги (сумма дуг равна $360^o$, а значит сумма вписанных углов равна $180^o$, чтд), а как в обратную? Подскажите, пожалуйста.

В обратную пробовал так. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Вокруг треугольника $ABC$ опишем окружность. Докажем, что эта окружность проходит через точку $D$. Но дальше не знаю -- что делать?
Кстати, какие есть следствия из теоремы, хотелось бы тоже их попробовать доказать самостоятельно.

2) Необходимое и достаточное условие того, что в четырехугольник можно вписать окружность. Следствия.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Верно и обратное.

Вот обратное я знаю как доказать, там через отрезки касательных, а в прямую сторону -- не знаю.

Какие еще следствия из теоремы, хотелось бы тоже их попробовать доказать самостоятельно.

[Brukvalub]

mr.tumkan2015 в сообщении #1125988 писал(а):

Но дальше не знаю -- что делать?

Рассуждать "от противного".

mr.tumkan2015 в сообщении #1125988 писал(а):

а в прямую сторону -- не знаю.

Рассуждать "от противного".

[mr.tumkan2015]

Хорошо, спасибо. Буду думать. А какие следствия здесь имеются ввиду?

-- 25.05.2016, 19:52 --

Может такие следствия имеются ввиду?

Из всех параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник (в том числе, в квадрат).

Из всех трапеций вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

А по второму вопросу следствия неочевидны.

[Brukvalub]

Не знаю, какие именно следствия вам нужны, но, например: изо всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность, в равнобедренную трапецию можно вписать окружность если и только если ее боковая сторона равна средней линии и т.д.

[VAL]

Можно рассмотреть такое следствие:
Для описанного четырехугольника (многоугольника) имеется формула для нахождения площади, аналогичная подобной формуле для треугольника: $S=pr$.