Найти длину кривой

[-Sofiko-]

$\sqrt{x} +\sqrt{y} = \sqrt{a}$
Все стандартно, нахожу производную $y' = 1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$
Длина дуги $\int\limits_{0}^{a} \sqrt{1 + (1 - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})^2}$
Не могу найти интеграл... Вольфрам альфа тоже не смог
Как быть? Вообще, это четверть окружности, а длину дуги, зная центральный угол можно легко найти...

[gris]

А $x+y=1$ тоже окружность?

[Someone]

-Sofiko- в сообщении #1125687 писал(а):

Как быть?

Введите новую переменную $t=\frac xa$.

-Sofiko- в сообщении #1125687 писал(а):

Вообще, это четверть окружности

Избавьтесь от $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ двумя возведениями в квадрат.

[mihailm]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1125689 писал(а):

А $x+y=1$ тоже окружность?

Не, это прямая, предельный случай дуг окружностей ($x^n+y^n=a^n$) находящихся выше ее и дуг окружностей ($x^{\frac{1}{n}}+y^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}$) находящихся ниже ее (кстати наш случай)

[gris]

(Оффтоп)

ну я имел в виду только уравнение для неотрицательных значений переменных. Возможно, в некоторой метрике и астроида окружность, но там и длина дуги считается по-другому.

[DeBill]

-Sofiko-
Странно, что вольфрам не справился....
Подстановка $x=t^2$ превращает Ваш интеграл в боле-мене типовой: выделяете под корнем полный квадрат, и сведете к "почти" табличному, типа $\int\limits_{}^{} \sqrt{x^2 +1} dx$

[-Sofiko-]

DeBill в сообщении #1125694 писал(а):

-Sofiko-
Странно, что вольфрам не справился....
Подстановка $x=t^2$ превращает Ваш интеграл в боле-мене типовой: выделяете под корнем полный квадрат, и сведете к "почти" табличному, типа $\int\limits_{}^{} \sqrt{x^2 +1} dx$

Спасибо =)

[Someone]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1125694 писал(а):

Странно, что вольфрам не справился....

Это случается, если подынтегральное выражение содержит параметры. Поэтому я выше такой совет дал.

[DeBill]

Someone

(Оффтоп)

Во как! Спасибо: не знал.