Найти площадь фигуры ограниченной петлей данной кривой

[-Sofiko-]

Найти площадь фигуры ограниченной петлей данной кривой
$x = a\sin(2t)$
$y = a \sin(t)$
Если в лоб найти интеграл $\int\limits_{0}^{\pi}a\sin(t)2a\cos(2t)$ получается отрицательное число $\frac{-4a^2}{3}$
График функции у меня перед глазами, вижу, что на отрезке $[\frac{\pi}{2} ; \pi] x<0$
Видимо надо разрезать интеграл на 2 от $[ 0; \frac{\pi}{2}]$ и от $[\frac{\pi}{2} ; \pi]$
Как объяснить то, что перед 2 интегралом надо поменять знак?

[DeBill]

-Sofiko- в сообщении #1125370 писал(а):

Видимо надо разрезать

Не, не надо: иначе кривая станет незамкнутой, и надо еще слова лишние говорить.
Но: по существу: откуда у Вас взялась формула для площади? Выполняются ли у вас условия - те , что требуются в "откуда у Вас взялась" ? Или Вы применяете формулу Грина?

[-Sofiko-]

DeBill в сообщении #1125387 писал(а):

-Sofiko- в сообщении #1125370 писал(а):

Видимо надо разрезать

Не, не надо: иначе кривая станет незамкнутой, и надо еще слова лишние говорить.
Но: по существу: откуда у Вас взялась формула для площади? Выполняются ли у вас условия - те , что требуются в "откуда у Вас взялась" ? Или Вы применяете формулу Грина?

Думаю, легче взять площадь фигуры ограниченной осью $OY$ для $t\in [0;\pi/2]$ и умножить на 2.
$\int\limits_{0}^{\pi/2}a\sin(2t)a\cos(t) = \frac{2a^2}{3}$
Неплохо было бы доказать, что функция симметрична относительно $OY$
Пусть $t=\pi-t$ тогда $x$ меняет знак на $ -$, $y$ остается со знаком $+$. Значит функция симметрична относительно $OY$. Можем спокойно домножить на 2.
Надо еще доказать, что точка $(0;0)$ точка самопересечения, но это легко. =)
Ответ $\frac{4a^2}{3}$

[DeBill]

Ага, Вы применили другую формулу. При этом, можно было бы и не разбивать на две - тоже получилось бы.
Ну, в общем, теперь все верно.
Однако, на вопросы мои ответить Вы не захотели....
И это не есть хорошо: бездумное применение формул, без понимания, что же за ними кроется - рано или поздно Вас накажет.
Ну да ладно. Все таки я прокомментирую Ваше решение.
1. Для замкнутых несамопересекающихся: вторая формула дает площадь (а первая - площадь со знаком "-"), если кривая обходит область против часовой (и - наоборот - иначе).
2. Для незамкнутой - получается площадь области, ограниченной осями и кривой (если кривая с концами на осях)).
Удачи! (она Вам будет нужна)